Co je zač logika
Logika je jedním ze základních nástrojů k poznávání světa. A to i přesto, že je vědou neempirickou, nezabývá se tedy empirickými daty (tj. poznatky vycházejícími ze zkušenosti, z pozorování). Jejím cílem je exaktně popsat pravidla vyplývání, vztah mezi příčinou a následkem, podat nástroje k ověření platnosti tvrzení, jinými (lehce nadnesenými) slovy: předkládá způsoby, jak se dobrat pravdy.
Logiku si nesmíme představovat jako nějaký chladný matematický aparát, kterým se baví pár zapálených nadšenců s počítači místo mozků, a my ostatní se směle obejdeme bez ní. Logika je provázána s lidským myšlením, s lidskou řečí, s tím, jak řešíme problémy, používáme ji zcela intuitivně, kdykoliv se snažíme „přijít věcem na kloub“. Logiku jsme si nevymysleli, logika prostě je.
V tomto textu se zaměříme na základy výrokové logiky a maličko se otřeme i o logiku predikátovou a pokusíme se předvést nějaké zajímavé aplikace některých zákonitostí. Mým cílem je ukázat těm, kteří logiku nemají rádi, protože jim připadá složitá, zbytečná či se jí bojí, že jejich obavy jsou plané – logika je totiž úžasná! A pokud se mi podaří někoho o tom přesvědčit či alespoň jej přimět k zamyšlení, pak práce s psaním tohoto textu nebyla zbytečná.
Co je zač tato kniha
Hlavním důvodem, proč tento text vznikl, je skutečnost, že výroková logika není příliš častým učivem probíraným na středních školách, a přesto v mnoha přijímacích testech na vysokou školu je její znalost vyžadována. Někdy jsou otázky formulovány tak, že i bez znalosti formalismů logiky lze s použitím zdravého selského rozumu určit odpověď (leč i tehdy je zkušenost s logikou neocenitelná), jindy však příklady nelze bez určitých znalostí úspěšně řešit.
Proto tím, komu je tento text především určen, jsou uchazeči o studium na vysoké škole, kteří chtějí do logiky a logických hádanek proniknout. I kdybyste se pak v testech logickým hádankám vyhnuli, nebude to ztracený čas – vězte, že ať už jdete studovat matematiku nebo filosofii, nějaký předmět zaměřený na logiku vás nepochybně čeká.
A kromě toho, mohla by to být, jak alespoň doufám, i trochu legrace.
1. Výroky
Výrok je nějaké tvrzení, promluva, o níž se rozhodujeme, zda je pravdivá, nebo nepravdivá. Otázka pravdivosti je právě to, co nás v logice především zajímá, půjde nám tedy zejména o to rozhodovat, zda a kdy je nějaký výrok pravdivý (případně posléze kdy je dokazatelný, což není zdaleka totéž).
Výrok je tedy nositel informace, která může platit (být pravdivá), anebo neplatit (být nepravdivá). Libovolná oznamovací věta je výrokem, naopak třeba otázka nebo rozkaz pochopitelně výroky nejsou, nemohou být pravdivé nebo nepravdivé.
Výroky můžeme pronášet nebo zapisovat, a to nějakým dohodnutým, obecně srozumitelným způsobem – v přirozeném jazyce, nebo nějakým přesným (matematickým) zápisem. Abychom mohli rozhodovat o pravdivosti výroku, musíme mu především rozumět – logika pracuje pouze s přesnými, srozumitelnými tvrzeními. Pokud je nějaká věta nepřesná nebo se dá chápat víceznačně, nelze ji analyzovat a rozhodovat o její pravdivosti.
Například výrok:
Pepa je budižkničemu
nemůžeme analyzovat, dokud se neshodneme na tom, o kterého Pepu se v tomto případě jedná a co přesně znamená označení „být budižkničemu“.
Naopak výrok:
1 + 1 = 3
můžeme analyzovat zcela snadno, pokud máme alespoň znalosti matematiky z první třídy a víme tedy, co jednotlivé značky v zápise znamenají.
Výroky často označujeme například písmeny. Takový výrok X není nic, co by nás mělo znepokojovat, je to prostě označení jako každé jiné a může se hodit – třeba jen proto, abychom nemuseli výrok několikrát opisovat, ale také v případě, že mluvíme o nějakém (v dané chvíli neznámém či libovolném) výroku.
I o výrocích lze pronášet výroky.
Například:
Výrok X je pravdivý
je výrok (označme jej třeba Y). Jeho pravdivost můžeme rozhodnout pouze tehdy, když víme, jak je to s pravdivostí výroku X – tedy pokud bude X pravdivý, bude pravdivý i Y, a pokud X bude nepravdivý, bude i Y nepravdivý.
Mějme ovšem jiný výrok (označme jej Z):
Výroky X a Y jsou buďto oba pravdivé nebo oba nepravdivé
Co víme o výroku Z? Je pravdivý! Je pravdivý bez ohledu na to, jak je to s výrokem X. Nevěříte? Doufám, že ano, ale pro jistotu si to ještě projděme. Pokud je výrok X pravdivý, je pravdivý i Y, a tedy to, co tvrdí výrok Z, je pravda. Naopak pokud je X nepravdivý, je nepravdivý i Y, takže Z má zase pravdu. Pravdivost Z vyplývá přímo z toho, jak funguje logika, a z toho, jak je postaven výrok Y.
Všimněte si, že pokud bychom nic nevěděli o výroku Y, nebyli bychom schopni rozhodnout pravdivost Z. My ovšem sice nevíme, jestli je Y pravdivý nebo nepravdivý, víme ale, že jeho pravdivost závisí na X, známe tedy nějaký vztah mezi X a Y a z tohoto vztahu vyplývá pravdivost Z.
Výrok se může vyjadřovat o čemkoli, dokonce i sám o sobě – takové výroky jsou velmi oblíbené v logických hádankách. Například:
Tento výrok pronesl Karel
To je výrok, a je pravdivý v případě, že jej skutečně pronesl Karel. Pokud jej ovšem pronesl třeba Bedřich, pravdivý není.
A teď jedna důležitá věc, která nemusí být na první pohled zřejmá. Některé výroky nejsou ani pravdivé, ani nepravdivé. Ano, je to tak. Žádný výrok pochopitelně není současně pravdivý a nepravdivý, ale jsou výroky, které nejsou ani to, ani ono. Říká se jim paradoxy. Typickým příkladem je výrok:
Tento výrok je nepravdivý
Co o něm víme? Pokud by byl pravdivý, pak by musel být nepravdivý. A pokud by byl nepravdivý, byl by vlastně pravdivý. Co s tím? Je to zkrátka problém, se kterým se musíme smířit. Paradoxy existují a běžnému člověku nic nebrání je pronášet, proto se také promluvy běžných lidí tak obtížně analyzují.
A právě proto bývá mnoho logických hádanek umístěno do zvláštního, ideálního světa, kde lidé mohou říkat pouze pravdu nebo nepravdu, a vůbec nejlepší je, když se dělí na dvě skupiny – jedny, co mluví vždycky pravdu, a druhé, co vždycky lžou. V klasických hádankách bývají označováni různě, často se můžeme setkat třeba s označením poctivci a padouši (to jsou termíny, které zavedl Raymond Smullyan, potažmo překladatelé Antonín Vrba a Hanuš Karlach, v originále knights a knaves).
Já jsem si dovolil použít jména Jasani (to jsou ti, co vždycky mluví pravdu) a Mámové (to jsou ti, co vždycky lžou) – jednak je to původní a jednak mají různá počáteční písmena a dají se tudíž dobře zkracovat. Jasani a Mámové a taky další podivná individua budou vystupovat v hádankách v pozdějších kapitolách.
Tolik tedy k osvětlení toho, co je to výrok. Kromě jednoduchých výroků, jejichž pravdivost lze rozhodovat jen a pouze na základě znalosti stavu světa, existují také výroky složené – skládají se z více výroků nějakým způsobem spojených a jejich pravdivost pak závisí jednak na pravdivosti výroků, ze kterých se skládají, a dále na vztazích, které mezi nimi platí. K určení pravdivosti složených výroků je už potřeba provést více či méně komplikovanou analýzu.
Výroky spojujeme pomocí logických spojek, o kterých budeme mluvit dále, nejprve nás však čeká ještě jedna nesmírně důležitá věc, a tou je negace.
Příklady k procvičení
1.1 Která z těchto vět je výrokem?
a) Co si o tom myslet?
b) Nic si nemyslím
c) Myslete na budoucnost
1.2 Která z těchto vět není výrokem?
a) Jedna a jedna je lokomotiva
b) Tato věta není výrokem
c) 12 + 15 − 6
2. Negace
Negace se na první pohled zdá být jednoduchá, ale nedejte se zmást, nezřídka se při negování výroku dosti zapotíte.
Negace výroku X je výrok, který platí, právě když X neplatí, a naopak. Je to tedy v logickém smyslu opak výroku X. Negaci značíme značkou \(\neg\) případně také pruhem nad. Slovně můžeme vyjádřit negaci pomocí formulace: „Není pravda, že …“, anebo prostým užitím větného záporu.
Například negace výroku
Vážím 125 kilo
zní
Nevážím 125 kilo
ale stejně dobře také
Vážím více nebo méně než 125 kilo
Rozhodně však ne třeba výrok
Vážím 150 kilo
Je velmi důležité si uvědomit následující vztahy:
- Nikdy nemůže současně platit X i \(\neg X\).
- Vždycky musí platit právě jedno z X a \(\neg X\).
- \(\neg X\) pokrývá všechny případy, kdy neplatí X.
- Negace negace výroku je rovna původnímu výroku.
Možná vám to teď připadá zbytečné opakování téhož, ale věřte, že je opravdu užitečné si tyto vztahy zafixovat. Najít správnou negaci složitějšího výroku není vždy jednoduché.
Co třeba takový obyčejný výrok jako:
Nikdo není dokonalý
Jaká je jeho negace? Dám vám tři možnosti:
a) Každý je dokonalý
b) Někdo je dokonalý
c) Někdo není dokonalý
Nu, co myslíte? Nebudu vás napínat, správně je b). Jinak řečeno: Existuje alespoň jeden člověk, který je dokonalý, to je přesná negace daného výroku. Když tvrdíme, že nikdo není dokonalý, říkáme vlastně, že neexistuje žádný člověk, který by dokonalý byl. Pokud bychom někoho takového našli, třeba jediného, náš výrok by neplatil.
Další výrok:
Alespoň dva z mých spolužáků se stali doktory
Kdy tento výrok platí? Pokud dva anebo více z mých spolužáků úspěšně zvládli studium medicíny. Neplatí naopak v případě, že se doktorem stal jen jeden, anebo se jím nestal žádný. Správná negace výroku tedy zní:
Nejvýše jeden z mých spolužáků se stal doktorem
Jiný výrok je:
Právě dva z mých spolužáků se stali doktory.
Tím tvrdím, že doktory se stali přesně dva, ani více, ani méně. Negace tedy zní:
Z mé třídy se stali doktory více než dva nebo nejvýše jeden žák.
Totéž by se dalo zformulovat třeba takto:
Počet mých spolužáků, kteří se stali doktory, je různý od dvou
Anebo prostě:
Není pravda, že právě dva z mých spolužáků se stali doktory
Všechny tyto tři výroky znamenají totéž.
Hádanky založené na negaci často využívají princip, který vlastně nepatří do výrokové logiky, nýbrž až do vyšších logik – kvantifikátory. Není to vůbec tak složité, jak se podle názvu zdá, kvantifikátory známe jen dva a jejich použití je snadné. Vlastně už jsme je jednou použili a ani o tom nevíte, bylo to v příkladu s výrokem Nikdo není dokonalý.
Prvním z kvantifikátorů je univerzální kvantifikátor, který vyjadřuje obecnou platnost. Chceme-li říct, že všechny objekty z nějaké množiny mají nějakou vlastnost, použijeme právě univerzální kvantifikátor. Slovy se to vyjádří obratem „Pro všechny platí“.
Tedy například:
Pro všechny lidi platí, že jsou savci
Všichni žáci 4. B budou vyloučeni
Každému, kdo si dnes dal v kantýně párek, bylo špatně
Výroky tohoto typu jsou velmi zajímavé a ještě se k nim vrátíme v kapitole o implikaci – nejde totiž vlastně o nic jiného než zvláštní formulaci implikace, ale o tom až později.
Druhým kvantifikátorem je takzvaný existenční kvantifikátor, který vyjadřuje platnost alespoň v jednom případě. Jinak řečeno existuje (alespoň jeden) objekt, který má danou vlastnost. Například:
Existuje člověk, který rozumí všemu
Alespoň jeden z žáků 4. B bude vyznamenán
Někomu, kdo si dnes dal v kantýně svíčkovou, bylo špatně
Cvičně si zkuste najít negaci výše uvedených výroků.
Zdařilo se? Byla to námaha? Prozradím vám postup, jak takové výroky znegovat snadno. Platí totiž následující princip.
Princip záměny kvantifikátorů: Negací se univerzální kvantifikátor mění na existenční a existenční kvantifikátor se mění na univerzální.
V matematickém zápisu označujeme univerzální kvantifikátor značkou \(\forall\) a existenční kvantifikátor značkou \(\exists\). Výše uvedený princip pak můžeme zapsat takto:
1) \(\neg\forall X = \exists\neg X\)
2) \(\neg\exists X = \forall\neg X\)
Vidíte, že negace se přesune za kvantifikátor a kvantifikátor se změní na opačný. Převedeno do lidského jazyka uvedené vzorečky znějí takto:
1) Tvrzení: „Není pravda, že pro všechny objekty platí vlastnost X“, říká totéž co tvrzení: „Existuje objekt, pro který neplatí vlastnost X“.
2) Tvrzení: „Není pravda, že existuje objekt, pro který platí vlastnost X“, říká totéž co tvrzení: „Pro všechny objekty neplatí vlastnost X“.
Například výrok „Není pravda, že všechny české zpěvačky umí zpívat“ říká totéž co výrok: „Existuje česká zpěvačka, která neumí zpívat.“
Výrok: „Není pravda, že existuje kulatá krychle“ říká totéž co výrok: „Pro všechny krychle platí, že nejsou kulaté.“
Zdá se vám to příliš složité? Není. Hned si to vyzkoušíme na prvním z předchozích šesti výroků –
Pro všechny lidi platí, že jsou savci. Jeho negace by zněla:
Není pravda, že pro všechny lidi platí, že jsou savci.
To je dosti komplikované vyjádření, které budeme chtít zjednodušit. Použijeme k tomu uvedený princip – negaci přesuneme za kvantifikátor a změníme jej na opačný. Dostaneme výrok:
Existuje člověk, pro kterého platí, že není pravda, že je savec.
To už jen upravíme do lepší češtiny a dostaneme:
Existuje člověk, který není savec.
Mohlo by se zdát, že tohle není ani tak záležitost logiky, jako spíše jazykovědy, vždyť správnou negaci jsme určili velmi snadno, prostě jsme přidali na začátek výroku „není pravda, že“, a všechno ostatní už byly jen úpravy. Ano, jedná se opravdu jen o jiný zápis téže informace, ale právě na způsobu zápisu záleží, jak bude výrok srozumitelný. Nalezení jednoduchého, srozumitelného zápisu výroku je problémem, kterým se logika často zabývá.
Prozradíme ještě, jak vypadají negace ostatních pěti uvedených výroků, v nejjednodušší podobě:
Alespoň jeden z žáků 4. B nebude vyloučen
Někomu, kdo si dnes dal v kantýně párek, nebylo špatně
Žádný člověk nerozumí všemu
Nikdo z žáků 4. B nebude vyznamenán
Nikomu, kdo si dnes dal v kantýně svíčkovou, nebylo špatně
Logické hádanky na tomto principu jsou obvykle postaveny tak, že máte daný výrok a na výběr máte několik možností, vaším úkolem pak je vybrat tu, která je negací daného výroku.
I když budete mít dobře osvojen uvedený princip záměny kvantifikátorů při negaci, přesto pro vás nemusí být vždy snadné negaci určit. To v případě výroků, které jsou zformulovány tak, že je v nich kvantifikátor jaksi „schován“ a není tak jednoduché jej „extrahovat“. Nebo u výroků, kde není na první pohled jasné, k čemu se vlastně kvantifikátor vztahuje.
Vždycky je důležité se nad výrokem zamyslet a pochopit, co se v něm říká.
Příklad 1
Mějme kupříkladu výrok:
Mám všechno, co potřebuji
Vaším úkolem je najít jeho negaci. Zkuste si uvědomit, co vlastně výrok říká – existuje tu nějaká množina věcí, které potřebuji, a já všechny její prvky mám. Jinými slovy: Pro všechny věci, které potřebuji, platí, že je mám.
Výrok se naopak vůbec nevyjadřuje o věcech, které nepotřebuji – neříká, jestli nějaké mám, nebo nemám, je mu to zcela jedno. Ani negace tohoto výroku se tedy o nich nemůže vyjadřovat, takže zkusit zformulovat negaci nějak jako: Mám něco, co nepotřebuji, je zcela chybné!
Správně zformulovaná negace tedy zní:
Existuje nějaká věc, kterou potřebuji, pro kterou platí, že ji nemám
Jednodušeji:
Nemám něco, co potřebuji
Příklad 2
Mějme výrok, označme jej X:
Všichni žáci, kteří studují matematiku, studují i angličtinu
Co říká výrok X o žácích, kteří studují matematiku? Pochopitelně právě to, že takoví žáci určitě studují i angličtinu. Co ale říká výrok o žácích, kteří studují angličtinu? Odpověď zní: NIC! Vůbec nic se tu nedozvídáme o žácích, kteří studují angličtinu – mohou studovat matematiku nebo také nemusejí.
Zkusme vymyslet, jak by mohla vypadat negace výroku X.
Mohou nás napadnout třeba tyto možnosti:
(a) Žádný žák, který studuje matematiku, nestuduje angličtinu.
(b) Žádný žák, který studuje angličtinu, nestuduje matematiku.
(c) Všichni žáci, kteří nestudují matematiku, nestudují ani angličtinu.
(d) Existuje žák, který nestuduje angličtinu ani matematiku.
(e) Existuje žák, který studuje angličtinu a nestuduje matematiku.
(f) Existuje žák, který studuje matematiku a nestuduje angličtinu.
Napadla vás ještě nějaká jiná možnost? Zapamatujte si ji a hned si ji ověříme. Z nabízených možností je správná jen jedna. Co myslíte, která?
S pomocí našeho pravidla záměny kvantifikátorů odpověď jistě naleznete. Jen nesmíte zapomenout, že mluvíme o žácích, kteří studují matematiku, a o nich se rozhodujeme, zda studují, nebo nestudují angličtinu. Žáci, kteří matematiku nestudují, nás nezajímají.
Tak už to víte? Pokud ano, gratuluji, pokud ne (anebo si nejste tak docela jistí), můžeme na to jít jinak.
Víme přece, že vždycky musí platit právě jeden z výroků X a \(\neg X\).
Zkusme si rozebrat některé konkrétní situace – mějme školu, kde studují pouze tři žáci, A, B a C (je to taková malá rodinná škola).
1. situace: A studuje matematiku, B angličtinu, C matematiku i angličtinu. V tomto případě výrok X neplatí (není pravda, že všichni žáci, kteří studují matematiku, studují i angličtinu, protože A studuje matematiku, ale angličtinu ne).
2. situace: A a B studují matematiku i angličtinu, C studuje pouze historii. V tomto případě X platí (všichni žáci, kteří studují matematiku, to jest A a B, studují i angličtinu).
3. situace: A studuje angličtinu, B matematiku i angličtinu, C historii. V tomto případě X opět platí (všichni žáci, kteří studují matematiku, to jest pouze B, studují i angličtinu).
Podívejme se na 1. situaci – výrok X tu neplatí, ale neplatí tu ani výrok označený (a) – je tu žák, který studuje matematiku i angličtinu. Takže (a) nemůže být negací X (našli jsme situaci, kdy oba neplatí).
Ze stejného důvodu není výrok (b) negací X – v 1. situaci opět oba neplatí.
Podobně je tomu s výrokem (c) – v 1. situaci oba výroky X i (c) neplatí. Naopak ve 2. situaci oba platí.
Stejně je na tom výrok (d) – v 1. situaci neplatí, ve 2. situaci platí, stejně jako X.
Pro výrok (e) je problematická až 3. situace, tady totiž (e) platí (existuje žák, konkrétně A, který studuje angličtinu a nestuduje matematiku). X také platí, takže (e) nemůže být jeho negací.
Poznamenejme, že tímto způsobem můžeme dokázat pouze to, že nějaký výrok není negací X, ale nemůžeme dokázat, že nějaký výrok je negací X. K tomu bychom museli vyzkoušet všechny možné situace, a vzhledem k tomu, že nemáme omezen počet žáků ve třídě, lze vymyslet nekonečně mnoho situací.
Ovšem já jsem vám prozradil, že jeden z výroků (a) – (f) je negací výroku X, musí to tedy být ten poslední, (f), a ten to také skutečně je.
Podobný postup můžete použít u hádanek, kde máte na výběr možnosti a víte, že právě jedna je správná. Musíte si však vymyslet vhodné situace a na nich postupně jednotlivé možnosti ověřit.
Ještě se podívejme na jednu situaci:
4. situace: A studuje historii, B němčinu a C hru na klavír. Jak je to s výrokem X?
Možná se vám to zdá divné, ale výrok X platí. Skutečně je pravda, že všichni žáci, kteří studují matematiku, studují i angličtinu – není tu totiž žádný žák, který by matematiku studoval, a tudíž není porušeno pravidlo, že studium matematiky vede automaticky ke studiu angličtiny.
Výrok X totiž můžeme přeformulovat takto:
Neexistuje žák, který by studoval matematiku a zároveň nestudoval angličtinu
Zamyslete se nad tím a ověřte si, že tohle je skutečně jen jiná formulace výroku X. Ve 4. situaci opravdu takový žák neexistuje, X je tedy pravdivý.
Kupodivu je ve 4. situaci pravdivý i výrok (a), že žádný žák, který studuje matematiku, nestuduje angličtinu – přestože by se mohlo zdát, že říká něco takřka opačného k výroku X (víme však už, že to není negace). Výrok (a) neznamená totiž nic jiného, než že neexistuje žák, který by studoval matematiku a zároveň také angličtinu – a takový tu skutečně neexistuje.
Tento princip můžeme zformulovat například takto: „Pro každý prvek prázdné množiny platí cokoliv.“ Je to velmi zajímavý princip a určitě se k němu ještě vrátíme.
Příklad 3
Hledejme negaci výroku:
Zelené ústřice nikdy nejsou chutné
Výrok se vyslovuje o zelených ústřicích, říká o nich, že za žádných okolností nejsou chutné. Avšak říká snad něco tento výrok o ústřicích, které mají pěknou růžovou barvu? Nikoliv. Mluví se tu právě jen o zelených ústřicích. Výrok tvrdí, že nikdy nenastane situace, kdy by zelené ústřice byly chutné. Negace výroku tedy musí tvrdit opak, že taková situace přece jen někdy může nastat, tedy:
Zelené ústřice někdy jsou chutné
Rozhodně ne něco jako Ústřice, které nejsou zelené, jsou vždycky chutné, a podobně.
Příklad 4
Další záludnost, která nás může při negování potkat, si ilustrujme na tomto příkladu. Mějme výroky
1) Žádní fotbalisté nejsou knihomoly
2) Žádní knihomolové nejsou fotbalisty
Říkají oba dva výroky totéž? Příklad se studenty angličtiny a matematiky by nás mohl varovat před unáhleným úsudkem, ale skutečně je to tak, oba výroky znamenají totéž, a sice, že žádný člověk na světě není současně fotbalista a knihomol. První výrok vlastně tvrdí, že neexistuje fotbalista, který by byl knihomolem, druhý výrok říká, že neexistuje knihomol, který by byl fotbalistou.
Negace výroků tedy znějí:
1') Existuje fotbalista, který je knihomolem
2') Existuje knihomol, který je fotbalistou
A to je totéž, znamená to prostě tolik, že na světě najdete člověka, který je současně fotbalistou i knihomolem.
Avšak! Vezměme si výroky:
3) Všechny velryby jsou savci
4) Všichni savci jsou velryby
Aha! Tyhle výroky už neznamenají totéž. Ti přírodopisně vzdělanější z vás jistě vědí, že první výrok je pravdivý a druhý nepravdivý (každá velryba je savec, ovšem třeba pes je taky savec, ale nikoli už velryba).
V čem je problém? Čím se liší výroky 1 a 2 od výroků 3 a 4? To je poměrně složitá otázka a stála by za delší rozbor. Ve skutečnosti jakkoli vypadají tyto dvě dvojice výroků podobně, jsou velmi odlišné.
Nejlépe si to můžeme demonstrovat, budeme-li uvažovat o množinách. Mluvíme tu o množině fotbalistů, množině knihomolů, množině savců a množině velryb – označme je F, K, S a V.
První a druhý výrok shodně tvrdí, že množiny F a K jsou disjunktní (nemají žádný společný prvek). Skutečně je jedno, jestli řekneme: Množina F nemá společný prvek s K (jak tvrdí výrok 1), anebo když řekneme: Množina K nemá společný prvek s F (jak tvrdí výrok 2).
Naopak výrok 3 říká, že V je podmnožinou S a výrok 4 říká, že S je podmnožinou V. To jsou zcela různá tvrzení a mohou být obě pravdivá, nebo obě nepravdivá, anebo může být libovolné z nich pravdivé a druhé nepravdivé – záleží na tom, jaké jsou množiny S a V.
Výrok 3 vylučuje, že existuje tvor, který by byl velryba a nebyl savec, ale nevylučuje, že existuje tvor, který by byl savec a nebyl velryba.
Výrok 4 to dělá přesně obráceně. Vylučuje, že existuje tvor, který by byl savec a nebyl velryba, ale nevylučuje, že existuje tvor, který by byl velryba a nebyl savec.
Existence psa tedy činí výrok 4 nepravdivý. Naopak pokud by byl kupříkladu žralok obrovský (který se velrybám nápadně podobá, není ovšem savec nýbrž paryba) z nějakého důvodu zařazen mezi velryby, byl by nepravdivý výrok 3. Ovšem bez ohledu na to, jaká je reálná situace, výroky 3 a 4 neznamenají totéž (a to ani v případě, že by byli všichni savci vyhubeni a tím by začaly být oba výroky pravdivé).
Jak to souvisí s negacemi? Dejme tomu, že vám někdo předloží výrok 3, abyste určili, jaká je jeho negace, a nabídne vám možnosti:
A) Existuje savec, který není velryba
B) Existuje velryba, která není savec
Je nezbytné si uvědomit, že tyto dva výroky říkají každý něco zcela jiného. Jen jeden z nich, konkrétně B, je správnou negací výroku 3 (zatímco výrok A, což snad není tak překvapivé, je správnou negací výroku 4).
Podobně například výroky Všichni vodníci jsou zelení a Všichni zelení jsou vodníci jistě neznamenají totéž, třebaže žádní vodníci vlastně neexistují. (A přinejmenším Martin Bursík, předseda Strany zelených, by jistě protestoval…)
Tím máme za sebou kapitolu o negacích. Bylo to těžší, než jste mysleli, že ano? Já věřím, že když si ji ještě párkrát přečtete, bude vám leccos jasnější. A nyní se podíváme na něco trochu jednoduššího.
Příklady k procvičení
2.1 Vyberte správnou negaci výroku: „Po cestě jela dvě auta.“
a) Po cestě nejelo nic
b) Po cestě jel motocykl
c) Po cestě jel nějaký počet aut, různý od dvou
d) Ať už jelo po cestě cokoliv, nejela tam dvě auta
e) Po cestě jela tři auta
2.2 Vyberte správnou negaci výroku: „Všechno je pod kontrolou.“
a) Nic není pod kontrolou
b) Něco není pod kontrolou
c) Alespoň něco je pod kontrolou
d) Ne všechno není pod kontrolou
e) Všechno je nad kontrolou
2.3 Vyberte správnou negaci výroku: „Kdo si zpívá, nemračí se.“
a) Kdo si nezpívá, mračí se
b) Kdo se nemračí, zpívá si
c) Někdo si zpívá a také se mračí
d) Někdo si nezpívá, ani se nemračí
e) Někdo se mračí a nezpívá si
2.4 Vyberte správnou negaci výroku: „Všichni lidé jsou bratři.“
a) Všichni bratři jsou lidé
b) Nějaký bratr není člověk
c) Nějaký člověk není bratr
d) Existuje někdo, kdo není ani bratr, ani člověk
e) Žádný bratr není člověk
2.5 Určete správnou negaci výroku: „Kdo neskáče, není Čech.“
3. Pravda a nepravda
V první kapitole jsme mluvili o výrocích a říkali jsme si, že mohou být pravdivé a nepravdivé. Také jsme se zmiňovali o tom, že u některých výroků je možné určit jejich pravdivost jedině na základě znalosti o stavu světa (takovým se říká empirické výroky), zatímco u jiných je možno rozhodnout o jejich pravdivosti jen na základě samotného výroku, bez ohledu na stav světa (tzv. analytické výroky).
Empirickými výroky jsou například:
Praha je hlavní město České republiky
Dnes dopoledne pršelo
Josef Novák bydlí na Malé Straně
Abychom mohli rozhodnout, zda jsou pravdivé, potřebujeme dodatečnou informaci – jak je to v současnosti s naším hlavním městem, jaké dnes bylo počasí, o kterého Josefa Nováka se jedná a kde bydlí, atd.
Zatímco když politik A řekne o politikovi B, že pronáší jenom samé lži, a na oplátku politik B řekne totéž o politikovi A, máme jistotu, že jeden z těchto dvou výroků byl nepravdivý, bez ohledu na to, o které politiky se jedná a za jakých okolností byly výroky proneseny. Skutečně, pokud A tvrdí: „B vždycky lže“, pak buďto je jeho výrok nepravdivý, nebo je pravdivý a z toho plyne, že nepravdivý je výrok politika B, který říká, že „A vždycky lže“ – protože A právě řekl pravdu. Ať tak nebo tak, jeden z výroků musí být nepravdivý (případně oba).
Nadále se budeme zabývat především takovými výroky, u nichž nepotřebujeme další informace, abychom mohli rozhodovat o jejich pravdivosti.
Podívejme se teď na jinou situaci. Dejme tomu, že vám někdo řekne následující výrok, označme jej S:
Pokud vám teď nelžu, tak mám doma růžového slona
Co z toho usoudíte?
Můžete uvažovat takhle: Jsou dvě možnosti, buďto lže, nebo ne. Pokud nelže, tak je pravda, že pokud nelže, má doma růžového slona. My předpokládáme, že nelže, takže musí mít doma růžového slona. Právě jsme dokázali, že z předpokladu, že nelže, vyplývá, že má doma růžového slona – a to je přesně to, co svým výrokem tvrdí. Tedy mluví pravdu a má doma růžového slona.
Pokud vám uvedená konstrukce není jasná, nezoufejte. Tento výrok je totiž příkladem implikace a k té se dostaneme až v páté kapitole, kde si to rozebereme podrobněji. Pro tuto chvíli mi budete muset věřit, uvedená konstrukce je správná.
Ale je to opravdu tak? Copak každý, kdo pronese výrok S, musí mít doma růžového slona? Zkuste si ho nahlas říct vy. Povedlo se? A máte doma růžového slona? Jste-li na pochybách, skočte se podívat, třeba se tam objevil.
Ne, nejspíš neobjevil, chyba je totiž někde jinde – a sice v onom předpokladu „jsou dvě možnosti, buďto lže, nebo ne“. Ten není správný, jak už jsme si řekli v první kapitole – ne každý výrok musí být pravdivý nebo nepravdivý, jsou i paradoxy. A pokud někdo, kdo doma nemá růžového slona, pronese výrok S, říká paradox.
Abychom se tomuto problému s paradoxy vyhnuli, budeme se nadále pohybovat v ideálním světě, kde každý člověk mluví buďto vždycky jen pravdu (takovým lidem budeme říkat Jasani), anebo vždycky jenom lže (těm budeme říkat Mámové). Pokud tedy Jasan pronese výrok S, pak musí mít doma růžového slona. Žádný Mám nikdy nesmí pronést výrok S, ať už slona má, nebo ne.
Příklad 1
Dejme tomu, že jste v zemi Jasanů a Mámů, potkáte nějakého člověka a ten vám řekne: „Jsem Mám.“ Co z toho usoudíte?
Správně usoudíte, že vás tahám za nos. Něco takového nikdy žádný Jasan ani Mám nemůže říct, stejně jako nemůže říct: „Vždycky lžu.“ Kdyby to byl totiž Jasan, říkal by nepravdu, a kdyby to byl Mám, mluvil by pravdu, což je v rozporu s informacemi, které jsem vám o Jasanech a Mámech dal, takže to Jasan ani Mám být nemůže. Dobrá, slibuji, že tohle už neudělám a že budu nadále operovat jen s pravými a nefalšovanými Jasany a Mámy.
Příklad 2
Opět jste v zemi Jasanů a Mámů, potkáte dva chlapíky a jeden z nich řekne: „Alespoň jeden z nás je Mám.“ Co z toho usoudíte?
Předpokládejme, že je to Mám, takže to, co řekl, je nepravda. Jenomže když je on sám Mámem, tak je pravda, že alespoň jeden z nich je Mám, takže to, co řekl, je pravda. Předpoklad, že mluvčí je Mám, vede ke sporu, musí to tedy být Jasan. Jeho vyjádření je tedy pravdivé a alespoň jeden z nich je skutečně Mám, on sám je Jasan, takže Mám musí být ten druhý.
Vidíte, že přestože druhý z mužů nic neřekl, podařilo se nám dokázat, že je Mámem.
Příklad 3
Opět potkáme dva muže a jeden řekne: „Nejvýše jeden z nás je Jasan.“ Jak je to tentokrát?
Je tomu úplně stejně jako předtím, první je Jasan a druhý Mám. Hned si to dokážeme.
Předpokládejme, že mluvčí je Mám. Pak není pravda, že nejvýše jeden je Jasan, tedy jinými slovy, Jasany musí být dva nebo více z nich. To ovšem nelze, když je první Mám. Je tedy jasné, že mluvčí je Jasan. Takže z těch dvou je nejvýše jeden Jasan, tedy on sám, a druhý musí být Mám.
Příklad 4
Tentokrát potkáme dva muže, označme je A a B, a ti řeknou:
A: „Žádný z nás není Mám.“
B: „To není pravda.“
Co jsou zač?
Pokud v zemi Jasanů a Mámů řekne jeden člověk o druhém, že to, co řekl, není pravda, je jasné, že jeden z nich mluví pravdu a druhý lže. Jeden z nich tedy musí být Mám, takže to, co řekl A, není pravda. A je tedy Mám a B Jasan.
Příklad 5
Zase tu máme dva muže, A a B. A řekne: „B má stejné přesvědčení jako já.“ Co z toho usoudíme?
Obratem „mít stejné přesvědčení“ se rozumí, že daní dva lidé jsou buď oba Jasani, nebo oba Mámové, tedy že oba dva svorně lžou, nebo oba mluví pravdu. Z toho, co řekl A, sice nepoznáme, jestli je Jasan nebo Mám, ale můžeme s jistotou říct, že B, který neřekl nic, je Jasan. Skutečně pokud by A byl Jasan, tak je pravda, že B je stejného přesvědčení, tedy také Jasan; zatímco pokud by A byl Mám, tak není pravda, že B je stejného přesvědčení, tedy není Mám a musí být Jasan.
V hádankách s pravdomluvci a lháři bývá často vaším úkolem nejenom určit, kdo mluví pravdu a kdo lže, ale také zjistit nějakou další informaci, třeba která cesta vede k jeskyni s pokladem.
Příklad 6
Potkáte dva muže, A a B, a zeptáte se jich, jestli tato cesta vede k pokladu. Řeknou:
A: „Oba jsme Mámové.“
B: „Tato cesta k pokladu nevede.“
Co usoudíte?
Bohužel máte smůlu, cesta k pokladu nevede. To, co řekl A, rozhodně nemůže říct Jasan, to je jasné. Je to tedy Mám a jeho výrok je lež, takže B musí být Jasan a říkat pravdu.
Příklad 7
Jindy potkáte tři muže, A, B a C. Řeknou:
A: „Právě dva z nás jsou Mámové.“
B: „C včera tvrdil, že tato cesta vede k pokladu.“
C: „B nikdy neříkal, že tam nevede.“
Jak je tomu s pokladem?
Nejdříve si dokažme, že B a C musejí být buďto oba Jasani, nebo oba Mámové. Vyplývá to z toho, co řekl A. Pokud by A byl Jasan, pak aby to, co řekl, byla pravda, musí být B i C Mámové. Naopak pokud je A Mám, tak není pravda, že právě dva jsou Mámové, musí být tedy Mámem jen on sám, anebo všichni tři.
Dobrá, víme že B a C buď oba lžou, nebo oba mluví pravdu, co dál?
Předpokládejme, že oba mluví pravdu. Pak podle toho, co řekl B, C včera tvrdil, že cesta vede k pokladu. Víme, že C je Jasan, mluvil tedy pravdu a cesta skutečně k pokladu vede.
Naopak předpokládejme, že oba jsou Mámové. C tedy lže, když říká, že B nikdy neříkal, že cesta k pokladu nevede, ve skutečnosti to tedy někdy říkal. Když B, jakožto Mám, tvrdil, že cesta k pokladu nevede, je jasné, že tam vede!
Sečteno podtrženo: Nepodařilo se nám zjistit ani o jednom z těch tří, jestli je Jasan nebo Mám, a přesto víme s jistotou, že cesta vede k pokladu. To je docela úspěch, nemám pravdu?
To byl tedy malý úvod do logických hádanek ze světa Jasanů a Mámů. Nyní bychom se měli dostat ke slíbeným logickým spojkám, ale ještě předtím si můžeme dopřát trochu rozptýlení v podobě malého dobrodružství.
Příklady k procvičení
3.1 V zemi Jasanů a Mámů potkáte dva lidi, A a B, a ti řeknou
A: „Jeden z nás je Jasan a druhý Mám.“
B: „To není pravda.“
Kdo je kdo?
3.2 Jindy potkáte dva lidi, A a B, a A řekne:
A: „Určitě nejsme oba Jasani.“
Kdo je kdo?
3.3 Potkáte tři lidi, A, B, C. Řeknou
A: „Mezi námi není žádný Mám.“
B: „Mezi námi není žádný Jasan.“
Kdo je kdo?
První intermezzo: Kdopak by se vlka bál
Alfréd Pěnička seděl ve svém květovaném ušáku a zamyšleně bafal z dýmky. Na kolenou mu ležel rozevřený dopis psaný pečlivými tahy starého plnicího pera a obálka s nebývalým množstvím pestrobarevných známek. Komorník Leopold si vzpomínal, že tento dopis byl zařazen mezi ranní poštou a považoval jej za nějakou obchodní nabídku či podobnou zbytečnost, která by jeho pána jistě nemohla vyvést z klidu.
Položil tedy podnos s čajem a sušenkami na mahagonový stolek a otázal se tiše: „Nějaké zprávy, pane?“
Pan Alfréd si dal s odpovědí na čas.
„Zajímavé,“ pronesl nakonec. „Tohle je dopis od starosty městečka jménem Aglungla, kdesi v Jižní Americe. Doslechl se patrně o mých skrovných úspěších v několika detektivních případech, na kterých jsem se podílel, a rozhodl se požádat mě o pomoc.“
„Oslovil vás snad v záležitosti nějakého zločinu?“
„Nikoli, Leopolde, tentokrát jde o problém poněkud zapeklitější. Jak se zdá, v jeho městě se objevili vlkodlakové. Terorizují pokojné obyvatelstvo a nikdo si s nimi nedovede poradit.“
„To zní vskutku znepokojivě.“
„Tato skutečnost mi ovšem nepřipadá nijak zásadní,“ pokračoval detektiv, „vždyť na svých cestách už jsme se potýkali s řadou nadpřirozených nebezpečí a troufám si tvrdit, že jsme vždy vyvázli bez úhony. Avšak tentokrát je věc o to komplikovanější, že město Aglungla, jak jsem pochopil, se nachází v zemi Jasanů a Mámů. Všichni tamní lidé buďto mluví vždy pravdu, anebo vždy lžou.“
„Myslíte, že to platí i pro vlkodlaky?“ otázal se Leopold.
„Bezpochyby. Kdyby šlo o cizince, Aglunglané by je jistě byli schopni identifikovat a zbavit se jich, ale takto jsou bezradní – nevědí, kdo z jejich sousedů už je vlkodlakem a kdo ne. A i když se někdo z lidí o někom dozví, že je vlkodlak, nedokážou se včas domluvit na jeho likvidaci, ona totiž domluva mezi Jasany a Mámy je obecně problematická. Starosta začíná být bezradný.“
„Zdá se, že vás ten případ zajímá,“ nadhodil komorník.
„Přirozeně. Už dávno jsem chtěl navštívit některou ze zemí obývaných Jasany a Mámy, jejich společenství mě fascinuje. Myslím, že tohle je skvělá příležitost provětrat mozkové závity.“
Alfréd Pěnička složil dopis a energicky vstal.
„Nuže, Leopolde, zabalte mi cestovní oblek, můj remington a dvě balení stříbrných kulek. Já půjdu připravit letadlo.“
Druhý den ráno dosedl dvojplošník Alfréda Pěničky na louku nedaleko Aglungly. Bylo pěkné počasí, příjemný větřík šuměl v korunách mangrovníků a vzduch byl prosycen vůní květin. Přesto se zdálo, jako by se nad krajinou vznášel stín zla.
„Měli bychom se mít na pozoru, Leopolde,“ promluvil Alfréd Pěnička, sotva vyskočil z kabiny a stáhl si brýle pilota, „vlkodlaci se nemusejí hned dozvědět o důvodu naší návštěvy. Nejlépe budeme-li předstírat, že jsme neškodní entomologové. Své otázky musíme volit uvážlivě.“
Vydali se po cestě k městečku. Brzy se ukázalo, že městečko je trochu nadnesené označení, bylo to jen několik chaloupek z mazaniny, s doškovými střechami, jen pár větších cihlových domů a uprostřed studna. O dlažbě zřejmě v těchto končinách ještě neslyšeli, celý prostor pokrývala jen udusaná hlína. Kdesi v dálce si někdo falešně prozpěvoval, jinak tu bylo až nepřirozené ticho.
Některé domky měly zápraží kryté rákosovými rohožemi, kde nezřídka posedával některý z obyvatel v proutěném křesle, pokuřoval z lulky a vrhal na příchozí cizince podezřívavé pohledy. Alfréd Pěnička se rozhodl jednoho z nich oslovit.
„Zdravím vás, dobrý muži. Mohl byste mi říct, kde bych našel starostu tohoto pěkného města?“
„Starosta bydlí v tom domě se zeleným plotem támhle,“ ukázal domorodec.
„Nevěřte mu,“ ozval se z verandy sousedního domu ženský hlas, „starosta bydlí v tom domě s křivým komínem támhle.“ Žena, jíž patřil hlas, ukázala prakticky opačným směrem. „Jenomže teď stejně není doma,“ dodala. „Je v hospodě, má tam nějaký jednání.“
„Ach tak. A hospodu bych našel kde?“
„No, ta je v tom domě se zeleným plotem,“ ukázala dáma bezelstně na prve označené stavení.
„Tak vám oběma děkuji,“ usmál se detektiv a vyrazil dál po ulici.
(Úkol I.1: Dá se z jejich slov poznat, zda se starosta nachází v některé ze zmíněných budov? Pokud ano, ve které?)
Starosta se ukázal být příjemným rozložitým chlapíkem, jemuž současné chmury vymazaly úsměv z jinak věčně veselé tváře. Pozval oba cizince na kokosové pivo – neboť stavením, v němž jej našli, byla nakonec skutečně hospoda, a rozpovídal se o problémech své vesnice. Alfréd brzy pochopil, že starosta patří mezi Jasany, takže naděje, kterou jednu chvíli pojal, že by totiž dopis psal Mám a vše o vlkodlacích byly pouhé výmysly, vzala za svou.
„V noci je to nejhorší,“ svěřoval se, „po ulicích běhají vlkodlaci, ani nečekají na úplněk, a když některý z nich někoho kousne, stane se ten nešťastník rovněž vlkodlakem. Když to tak půjde dál, budeme nakonec vlkodlaky všichni.“
„A to se nedá nějak léčit?“ otázal se Leopold.
„Copak o to,“ odvětil starosta, „pozval jsem jednoho zkušeného šamana, který to dokáže, ale k tomu je potřeba určit, zda daná osoba je skutečně vlkodlakem, a to je ve dne prakticky nemožné a v noci mimořádně nebezpečné. A kdybychom zkusili vyléčit někoho, kdo vlkodlakem není, zabilo by ho to. Třeba v rodině mého souseda nějakého vlkodlaka s největší pravděpodobností mají, možná i více, všichni vědí, jak to je, ale jsou to Jasané smíchaní s Mámy, takže kdo se v tom má vyznat?“ povzdechl si.
„Zkusím se na to podívat,“ pravil Alfréd Pěnička.
Vzali tedy šamana a vyrazili k domu.
Starosta jim nejprve představil pána domu a jeho manželku, Alfréd se jich hned otázal: „Je někdo z vás vlkodlak?“ Odpověděli:
Muž: „Moje žena je Mámka. Já nejsem vlkodlak.“
Žena: „S manželem jsme oba Mámové. Já jsem vlkodlak.“
Alfréd Pěnička z toho dokázal poznat, kdo z nich je vlkodlak a kdo ne.
Dále si nechal zavolat jejich tři syny, jmenovali se Miko, Riko a Kiko, a položil jim stejnou otázku. Řekli:
Miko: „Mezi námi třemi je právě jeden vlkodlak.“
Riko: „Co se vlkodlačství týče, jsem na tom stejně jako Kiko. Co se týče lhaní, jsem na tom stejně jako Miko.“
Kiko: „Miko a Riko jsou oba Jasani. Riko je vlkodlak.“
(Úkol I.2: Kdo z těch pěti byl vlkodlak a kdo ne?)
Alfréd po chvíli přemýšlení určil, jak je to v této rodině s vlkodlaky, a šaman provedl patřičný obřad. Podle radosti rodičů i synů poznali, že se jim skutečně podařilo vyléčit všechny nakažené. Starosta byl nadšen a hned navrhl, že půjdou do dalšího domu. Alfréd opět vyslechl napřed ženu s manželem. Řekli mu:
Muž: „Oba jsme vlkodlaky. Právě jeden z nás je Jasan.“
Žena: „Já rozhodně vlkodlak nejsem. Můj muž je Jasan.“
Pak přišly na řadu jejich děti – chlapci Tony a Bobo a dívka Jika. Ty Alfrédovi řekly:
Tony: „Každý vlkodlak mezi námi třemi je zároveň Mámem.“
Bobo: „Já a Tony jsme oba vlkodlaci. Tony je Jasan.“
Jika: „Z nás tří je nejvýše jeden vlkodlak.“
(Úkol I.3: Kdo z těch pěti byl vlkodlak a kdo ne?)
V dalším domě narazili na manžele jménem Ron a Peda, kteří měli syna a dceru – Mona a Ledu. Vyslechli je společně.
Ron: „Všichni Jasani mezi námi jsou zároveň vlkodlaci.“
Peda: „Žádný Mám mezi námi není vlkodlak.“
Mon: „Peda je vlkodlak. Já jsem na tom s vlkodlačstvím stejně jako ona.“
Leda: „Všechny ženy mezi námi jsou Mámky.“
(Úkol I.4: Kdo z těch čtyř byl vlkodlak a kdo ne?)
I tentokrát se Alfrédovi podařilo všechny vlkodlaky odhalit a šaman je úspěšně vyléčil. Bylo to trochu komplikované, protože vlkodlaků byla přesila a Ron kladl určitý odpor, ale nakonec byli úspěšní. Když se Ron vzpamatoval, všem se omluvil a Peda všechny pozvala na oběd.
Po obědě pokračovali v dalším domě.
„Tentokrát je to ještě obtížnější,“ pravil starosta. „Tady totiž bydlí Ako a Bela a ti mají tři dcery, Xandu, Yandu a Zandu. Jenomže dívky jsou trojčata a jsou si tak podobné, že je nikdo nedokáže rozeznat. Ani rodiče si nejsou jistí.“
„Uvidíme, snad si poradíme,“ opáčil Alfréd Pěnička.
Nejprve vyslechli rodiče.
Ako: „Má žena je Jasanka-vlkodlak. Já jsem vlkodlak.“
Bela: „Můj muž je Mám-vlkodlak. Já nejsem vlkodlak.“
Tohle už bylo po předchozích zkušenostech pro Alfréda snadné, tak problém rychle vyřešil a nechal se zavést k dívkám. Starosta nelhal (samozřejmě), byly si opravdu podobné jako vejce vejci. Zeptal se jich, jak to s nimi je, a ony mu řekly:
První: „Xanda je Mámka. Yanda je vlkodlak.“
Druhá: „Xanda je Jasanka. Zanda není vlkodlak. Já jsem vlkodlak.“
Třetí: „Yanda i Zanda jsou Mámky. Já nejsem vlkodlak.“
(Úkol I.5: Kdo z těch pěti byl vlkodlak a kdo ne?)
Chvíli trvalo, než se šamanovi podařilo vyléčit všechny vlkodlaky v tomto domě. Starosta byl čím dál nervóznější a trpce hleděl na oblohu.
„Touhle rychlostí to nemůžeme stihnout,“ pravil smutně, když opustili dům. „Jakmile padne noc, vlkodlaci začnou řádit a ráno můžeme začít znovu.“
Šaman pronesl cosi v domorodém nářečí.
„On říká,“ překládal starosta, „že nejlepší by bylo najít hlavního vlkodlaka, toho, který sem nákazu přinesl. To on prý ovládá duše nakažených, když se jej zbavíme, ostatní sice nepřestanou být vlkodlaky, ale měli by se dokázat ovládnout a neútočit na své okolí.“
„To je zajímavý aspekt, s nímž jsem se při studiu literatury pojednávající o lykantropii dosud nesetkal,“ podotkl Alfréd Pěnička.
„Věc má ovšem háček,“ pokračoval starosta. „Podle všeho se hlavní vlkodlak nenachází ve městě, nýbrž někde v okolních lesích. Mnoho z našich lidí se ve strachu před vlkodlaky uchýlilo do jeskyní ve skalách, protože si mysleli, že tam budou bezpečnější než tady. Sám se však domnívám, že to byly plané naděje, zvláště pokud se hlavní vlkodlak také v těch místech ukrývá, což je pravděpodobné, ve městě není nikdo, koho bych podezříval.“
„Je tedy nejvyšší čas vyrazit!“ zvolal Alfréd.
Starosta se sice netvářil moc nadšeně při představě, že by se měl při blížícím se večeru vydat do lesů, nechtěl však vypadat zbaběle a ihned souhlasil, že se přidá k výpravě. Přibrali ještě pár odvážných mužů a vydali se směrem k lesu.
Odpoledne již pokročilo, když výprava dorazila ke skalám.
„Nezapomeňte,“ varoval starosta, „lze předpokládat, že většina těch, s nimiž se setkáme, budou vlkodlaky, ale nelze na to spoléhat, mohou tu ještě přežívat mnozí nenakažení. Naším úkolem je najít vůdce smečky, o ostatní se postaráme později.“
Hned v první jeskyni narazili na dva podivné chlapíky, kteří si je podezřívavě měřili, ale snad proto, že naši hrdinové byli v přesile, nedali najevo nepřátelství.
Alfréd se jich zeptal: „Je mezi vámi hlavní vlkodlak?“
Odpověděli:
První: „Hlavní vlkodlak je Mám.“
Druhý: „Tady on je Jasan.“
(Úkol I.6: Byl mezi nimi hlavní vlkodlak? Pokud ano, který z nich to byl?)
Družina pokračovala do další jeskyně. Tentokrát narazili na skupinu čtyř podezřelých individuí. Alfréd se opět zeptal na hlavního vlkodlaka a dostalo se mu odpovědi:
První: „Já jsem vlkodlak. Aspoň tři z nás jsou Jasani.“
Druhý: „Mezi námi jsou nejméně tři vlkodlaci, kteří nejsou tím hlavním. Nějaký vlkodlak mezi námi má stejné přesvědčení jako já.“
Třetí: „Já a ještě někdo nejsme vlkodlaci. Všichni vlkodlaci zde jsou Mámové.“
Čtvrtý: „Mám jiné přesvědčení než kterýkoliv z vlkodlaků mezi námi.“
(Úkol I.7: Byl mezi nimi hlavní vlkodlak? Pokud ano, který z nich to byl?)
Dobrodruhové pokračovali dál do hlubin. Byli již poměrně hluboko, ze stěn sálal chlad a prostor osvětlovalo jen několik pochodní. V další jeskyni spatřili skupinu postav klečících na zemi v kruhu a uprostřed nich na vyvýšeném místě stáli tři vlkodlaci. Nebylo pochyb, že šlo o vlkodlaky, příšeří podzemí jim zřejmě již teď, před západem slunce, dovolilo částečnou proměnu.
Zdálo se zřejmé, že jedna z postav s vlčí hlavou patří hlavnímu vlkodlakovi, ale Alfréd Pěnička by rád zjistil, který z nich to je. Než však stačil cokoliv říct, promluvil vlkodlak vpravo:
„Vetřelci vstoupili do naší svatyně. Chtějí ohrozit naše společenství.“
Vlkodlak vlevo k tomu dodal: „Zjistěte, kteří z nich jsou Mámové, a zabijte je hned. I hlavní vlkodlak je přece Mámem.“
A nakonec vlkodlak uprostřed: „Zjistěte, kteří jsou Jasani, a zabíjejte je pomalu. Jen jeden z nás tří je přece Jasan.“
Na ta slova všechny sedící postavy vstaly a obklíčily skupinu hrdinů. Jejich oči byly zvrácené dozadu a některým se v tlamách objevovaly vlčí tesáky, pomalu se sunuli dopředu a natahovali ruce jako v transu. První se již sápali na vyděšené vesničany, v té chvíli však Alfréd vytáhl svůj revolver, prozíravě nabitý stříbrnými kulkami, a namířil přes hlavy vrčícího davu. Oči hlavního vlkodlaka se zaostřily na ústí zbraně. Vzápětí mu střela prolétla srdcem.
(Úkol I.8: Který ze tří vlkodlaků byl tím hlavním?)
Kruh kolem hrdinů se zastavil a jeho členové začali přicházet k sobě, třásli hlavou a tvářili se nechápavě, jako by si nemohli vzpomenout, kde jsou a co tu dělají. I dva zbylí muži s vlčími hlavami se rozhlíželi kolem a hledali, kdo by jim vysvětlil, co se děje.
„Nu,“ pravil Alfréd Pěnička a zajistil zbraň, „myslím, že je čas na návrat, jestli to do Aglungly chceme stihnout na večeři.“
4. Konjunkce a disjunkce
Nyní se konečně dostáváme k logickým spojkám. Logické spojky se používají tehdy, potřebujeme-li více jednoduchých výroků spojit do jednoho složitějšího. Děláme to zcela přirozeně i v jazyce. Když například řeknu: „Dnes zryju zahrádku a zítra postříhám trávník,“ vyjadřuji tím vlastně dvě skutečnosti a tvrdím, že obě nastanou.
Existuje šestnáct způsobů, jak spojit dva výroky do jednoho. Možná je to překvapivě mnoho, ale je to tak – nebudeme tu rozebírat proč, zájemci si to mohou najít v literatuře. To, který z těchto způsobů byl zvolen, je vyjádřeno právě pomocí logické spojky – v předchozím případě ji představuje větná spojka „a“.
Existuje tedy šestnáct různých logických spojek (máme na mysli binární spojky, tedy ty, které spojují dva výroky; spojky pro více než dva výroky se prakticky nepoužívají), ale z těchto šestnácti se v logice běžně pracuje jen se čtyřmi (někdy ještě s několika málo dalšími, pro určité speciální účely). Je to proto, že tyto čtyři spojky nejlépe odpovídají tomu, jak funguje lidská řeč. Pokud je potřeba vyjádřit spojení výroků, které by odpovídalo některé další spojce, lze toho vždy dosáhnout pomocí určité kombinace některých z těchto čtyř spojek (dokonce nám stačí jen jediná, kterákoli z nich) a negace. [Opravuji: kterákoli ne. S ekvivalencí to nejde. Ale s ostatními ano.]
Poznamenejme, že negace je vlastně taky taková logická spojka, která ovšem nespojuje dva výroky dohromady, ale vztahuje se jen k jednomu výroku – někdy se jí proto říká unární logická spojka.
V této kapitole se podíváme na dvě nejběžnější a nejpřirozenější binární logické spojky, konjunkci a disjunkci.
Příkladem použití konjunkce je výrok, který jsem uváděl na začátku kapitoly (označme si ho X):
Dnes zryju zahrádku a zítra postříhám trávník
V matematických výrazech se konjunkce značí značkou \(\land\) a v přirozeném jazyce jí odpovídá spojka „a“. Kdykoli tedy vyslovíme výrok, který se skládá ze dvou výroků spojených spojkou „a“, používáme konjunkci.
Nyní nás bude pochopitelně zajímat, kdy je konjunkce výroků pravdivá a kdy nepravdivá – ale myslím, že se to dá docela dobře odvodit. Pokud jsem řekl výrok X, budu mít pravdu jenom tehdy, když opravdu dnes zryji zahrádku a zítra postříhám trávník – pokud bych udělal jen jedno z toho a to druhé opomněl, můj výrok by byl nepravdivý. Samozřejmě nepravdivý bude i tehdy, když neudělám ani jedno.
Druhou slíbenou spojkou je disjunkce, která je v určitém smyslu opakem konjunkce. Značí se značkou \(\vee\) a ve větě se vyjadřuje spojkou „nebo“. Když tedy pronesu výrok (označme jej Y):
Dnes zryju zahrádku nebo zítra postříhám trávník
mám pravdu tehdy, pokud provedu aspoň jeden ze slíbených zahrádkářských úkonů. Můj výrok je pravdivý i tehdy, když udělám obojí, disjunkce není vylučovací. To si pamatujte, v logice má vždy spojka „nebo“ význam nevylučovací, tedy celá disjunkce je pravdivá i tehdy, když platí oba spojené výroky.
Malá poznámka – někteří z vás si možná všimli, že značka pro konjunkci se nápadně podobá matematické značce pro průnik a značka pro disjunkci se zase podobá značce pro sjednocení. Není to náhoda, jedná se o podobné vztahy. Představte si to takhle: Výrok můžeme vyjádřit jako množinu situací, v nichž je tento výrok pravdivý. Potom vezmeme-li dva výroky, jejich průnikem bude právě množina situací, kdy jsou pravdivé oba současně (tedy konjunkce) a jejich sjednocením množina situací, kdy je pravdivý alespoň jeden z nich (tedy disjunkce).
Logické spojky se často zapisují pomocí tzv. tabulek pravdivostních hodnot, uvedeme si je i zde – toto je tabulka pro spojky konjunkce a disjunkce:
A | B | \(A \land B\) | \(A \vee B\) |
---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
V prvním sloupci jsou pravdivostní hodnoty nějakého výroku A (např. „Dnes zryju zahrádku“), ve druhém pravdivostní hodnoty výroku B (např. „Zítra postříhám trávník“), ve třetím výroku \(A \land B\) (to je náš známý výrok X) a ve čtvrtém výroku \(A \vee B\) (výrok Y). Číslo 0 označuje nepravdu a číslo 1 pravdu.
Řečeno srozumitelnějším jazykem: Pokud spojíme dva nepravdivé výroky spojkou „a“ nebo spojkou „nebo“, výsledkem bude nepravdivý výrok. Pokud spojíme dva pravdivé výroky spojkou „a“ nebo spojkou „nebo“, výsledkem bude pravdivý výrok. Pokud spojíme spojkou „a“ dva výroky, z nichž jeden je pravdivý a druhý nepravdivý, výsledkem bude nepravdivý výrok. Pokud spojíme spojkou „nebo“ dva výroky, z nichž jeden je pravdivý a druhý nepravdivý, výsledkem bude pravdivý výrok.
Věřím, že každý, kdo umí česky a dokáže mluvit lépe než jen v holých větách, tato pravidla bez problémů chápe, ale nebojte se, hned to začne být zamotanější. Na scénu totiž nastupuje negace.
Dejme tomu, že řeknu:
Není pravda, že dnes zryju zahrádku a zítra postříhám trávník
Co jsem to vlastně prohlásil? Tvrdím, že nastane jedna ze tří situací, v nichž je výrok X nepravdivý. Tedy buďto nezryju zahrádku, nebo nepostříhám trávník, anebo neudělám ani jedno z toho.
Moje tvrzení by se tedy dalo přeformulovat takto:
Dnes nezryju zahrádku nebo zítra nepostříhám trávník
Když naopak prohlásím:
Není pravda, že dnes zryju zahrádku nebo zítra postříhám trávník
prohlašuji negaci výroku Y, tedy tvrdím, že nastane právě ta jediná situace, kdy je výrok Y nepravdivý, to znamená že ani nezryju zahrádku, ani nepostříhám trávník:
Dnes nezryju zahrádku a zítra nepostříhám trávník
Tento princip můžeme obecně vyjádřit takto:
Princip záměny konjunkce a disjunkce (de Morganova pravidla):
Negace konjunkce výroků říká totéž co disjunkce negací výroků.
Negace disjunkce výroků říká totéž co konjunkce negací výroků.
Matematicky to zapíšeme následovně:
1) \(\neg\left( X \land Y \right) \neg X \vee \neg Y\)
2) \(\neg\left( X \vee Y \right) \neg X \land \neg Y\)
Příklad 1
Vaším úkolem je najít negaci výroku:
Mám hlad a nemám žádné peníze
Nejprve tedy na začátek přidáme negaci:
Není pravda, že mám hlad a nemám žádné peníze
Nyní je třeba výrok zjednodušit, použijeme tedy princip záměny konjunkce a disjunkce – přesuneme negaci k oběma spojeným výrokům a změníme konjunkci na disjunkci:
Nemám hlad nebo mám nějaké peníze
To je správná negace uvedeného výroku. Jak vidíte, určit negaci složitějších výroků není vždy tak přímočaré, jak by se mohlo zdát, ale když znáte náš princip záměny konjunkce a disjunkce, není to problém.
Rozhodujeme-li se, kdy je nějaká konjunkce či disjunkce pravdivá nebo nepravdivá, může nám pomoci zapamatovat si jednoduchou pomůcku: Konjunkce dvou výroků je pravdivá jen v jediném případě, a sice když jsou oba výroky pravdivé. Disjunkce dvou výroků je nepravdivá v jediném případě, když jsou oba výroky nepravdivé.
Příklad 2
Dejme tomu, že nějaký obyvatel země Jasanů a Mámů řekne: „Jsem Mám nebo se jmenuji Karel.“ Kým je a jak se jmenuje?
Kdyby to byl Mám, první část výroku by byla pravdivá, proto i celá disjunkce by byla pravdivá, a to není možné, Mám nemůže pronést pravdivý výrok. Musí to být tedy Jasan. První část výroku je nepravdivá, takže druhá musí být pravdivá, aby celá disjunkce byla pravdivá. Je to tedy Jasan a jmenuje se Karel.
Příklad 3
Jiný obyvatel země Jasanů a Mámů řekne: „Jsem Mám a jmenuji se Karel.“ Jak je to tentokrát?
Kdyby to byl Jasan, první část výroku by byla nepravdivá a tím by i celá konjunkce byla nepravdivá, a to je spor, Jasan nemůže pronést nepravdivý výrok. Musí to být tedy Mám. První část výroku je pravdivá, takže aby celá konjunkce byla nepravdivá, musí být nepravdivá druhá část. Takže je to Mám a nevíme, jak se jmenuje, ale určitě ne Karel.
Příklad 4
Jindy potkáte dva obyvatele a první řekne: „Alespoň jeden z nás je Jasan a já to nejsem.“ Co jsou zač?
Kdyby byl mluvčí Jasan, musely by obě části jeho výroku být pravdivé, druhá je ovšem nepravdivá a to je spor. Musí to tedy být Mám a aspoň jedna z částí je nepravdivá. Druhá je ovšem pravdivá, on opravdu není Jasan, takže první musí být nepravdivá a žádný z nich není Jasan. Oba jsou tedy Mámové.
Všimněte si, že zatímco nikdo z Jasanů a Mámů nemůže pronést výrok „Jsem Mám“, výroky z příkladů 2 a 3 klidně pronést může.
Tím jsme zvládli konjunkci a disjunkci, věřím, že to nebylo moc těžké. Na řadě je slíbená implikace, a nechci vás strašit, ale to bude teprve pořádná hrůza. Takže bychom si mohli ještě předtím skočit na chvilku odpočinout k něčemu méně děsivému. Třeba k upírům.
Příklady k procvičení
4.1 Určete správnou negaci výroku: „Zítra bude pršet nebo bude hezky.“
4.2 Určete správnou negaci výroku: „Mám všechno pojištěno a tak je to správné.“
4.3 V zemi Jasanů a Mámů potkáte dva lidi, A a B, a A řekne
A: „Já jsem Mám nebo on je Jasan.“
Kdo je kdo?
4.4 Jindy potkáte dva lidi, A a B, a ti řeknou
A: „Já jsem Jasan a on je Mám.“
B: „To je pravda.“
Kdo je kdo?
4.5 Do třetice potkáte dva lidi, A a B, a ti řeknou
A: „Já jsem Jasan nebo on je Mám.“
B: „To je pravda.“
Kdo je kdo?
Druhé intermezzo: Po setmění
„Naše úspěchy v Aglungle nezůstaly nepovšimnuty,“ pochvaloval si Alfréd Pěnička, když se zas jednou pohodlně natáhl v křesle ve svém pokoji a zapálil si dýmku. Jako většina velkých detektivů i on měl v sobě malý střípek ješitnosti, který občas zapomínal krotit.
Leopold položil na stůl stříbrný podnos s hromadou dopisů a zdržel se komentáře.
„Dovolil jsem si roztřídit ranní poštu,“ řekl, „ta hromádka vlevo jsou vyznání obdivu od vašich fanoušků, vpravo jsou informačně hodnotné listy.“
Alfréd sjel pohledem podnos.
„Je tu jen jedna hromádka,“ podotkl.
„Skutečně? Ach ano, tenhle jsem tam zapomněl přidat.“
Komorník sáhl do kapsy a podal Alfrédovi dopis v letecké obálce.
Detektiv přelétl několik řádků, pak se na chvíli opřel v křesle a zamyšleně vypouštěl obláčky dýmu ke stropu.
„Zpráva o našem dobrodružství již zřejmě obletěla značnou část světa,“ pravil pak. „V tomto dopisu se na mě obrací starosta města Baglapondu a prosí mě, zda bych jim nepomohl vyřešit i jejich problémy nadpřirozenými přízraky, pro změnu s upíry.“
Leopold tentokrát ani nedal najevo údiv, snad proto, že dopis četl.
„I Baglapond obývají Jasani a Mámové?“ otázal se.
„Pokud jsem to dobře pochopil a pokud se tomu člověku dá věřit, v Baglapondu je situace jednodušší. Obyvatelé zde pochopili, že soužití Jasanů a Mámů je komplikované, a tak do města teď mají přístup pouze Jasani. Všichni Mámové museli změnit přesvědčení, nebo se odstěhovat.“
„Takže tam všichni mluví pravdu?“ vrtěl hlavou Leopold. Tomu se ani nechtělo věřit.
„Bohužel tak růžové to zase není. V posledních týdnech se ve městě rozmohla nákaza upírství a jak se zdá, člověk takto nakažený je nejenom postižen světloplachostí, odporem k česneku a chutí na krev, ale také to poznamená jeho psychiku takovým způsobem, že se převrátí jeho přesvědčení. Takže zatímco lidé v Baglapondu mluví jen pravdu, upíři soustavně lžou. Pro obyvatele, kteří již za ta léta odvykli klamu, je to něco, s čím se nedokážou vyrovnat.“
„Mám zabalit sadu osikových kůlů, pane?“
„Samozřejmě. A přidejte lahvičku svěcené vody a něco na čtení do vlaku. Tentokrát budeme cestovat nenápadněji.“
Nádraží Baglapondu bylo to odpoledne pochmurné, zahalené mlhou. Na kostelní věži odbíjely hodiny pátou, když Alfréd zastavil drožku a poručil zamířit k radnici.
Starosta je přijal unaveně, leč šťastně, že je vidí.
„Nikdo teď skoro nespí,“ pravil sklesle, „nikdy nevíte, odkud se vynoří. Nejhorší je to kolem hřbitova, tam se houfují. Když je zataženo jako dnes, můžete je potkat venku i za dne, ale nejsou tak nebezpeční. V noci je to jiná.“
„Takže bychom měli začít tam,“ uzavřel Alfréd.
Brány hřbitova je vítaly chladným šerem. Hned u nejbližší řady hrobů narazili na dva muže, jednoho podsaditého chlapíka v plášti a klobouku, druhého hubeného v odraném kabátě. Zdálo se, že se hádají.
„Dobré odpoledne,“ pozdravil je Alfréd. „Mohu vědět, v čem spočívá váš spor?“
„Nic zásadního,“ odvětil ten v klobouku, „je to upír a já se ho chystám zabít.“
„Jsem člověk a pečuji tu o hrob svého dědečka,“ namítl ten v kabátu rozhořčeně.
„Jeho dědeček je mrtvý nebo jsme oba upíři,“ prohlásil muž s kloboukem a zřejmě měl pocit, že tím je vše vysvětleno.
(Úkol II.1: Kdo byl kdo?)
Alfréd vytáhl z náprsní kapsy jeden z připravených naostřených kůlů, a než se upír stačil vzpamatovat, zarazil mu ho do srdce. Z upíra zbyla jen hromada prachu.
„Díky,“ pravil druhý muž, „ale zvládl bych ho sám. Teď za večera jsou slabí.“
„Vydal jste se na lov upírů?“ ptal se detektiv.
„Samozřejmě. Někdo tomu musí udělat přítrž.“
„V tom případě máme společný zájem. Souhlasíte, abychom spojili své síly?“
Muž souhlasil. Jmenoval se Armaglo, byl to místní lékař a s upíry už měl své zkušenosti.
„Podle mých propočtů,“ říkal, zatímco prohlíželi hroby, „upírů nemůže být ve městě mnoho. Lidé tvrdí, že jsou jich celé tlupy, ale to je nesmysl. Myslím, že už jich zbývá tak kolem deseti.“
„Pochopil jsem,“ podotkl Alfréd, „že se nemnoží takovou rychlostí jako třeba vlkodlaci.“
Armaglo zavrtěl hlavou. „Proměna člověka v upíra je celkem vzácná a trvá dlouho. Většinou svoji oběť jen zabijí.“
„I tak je třeba mít se na pozoru.“
„Podívejte,“ přerušil jejich diskusi Leopold a ukázal na jeden z náhrobků. Byl na něm čerstvý nápis vyvedený krví:
Zde Wilhelm není pohřbený či jeho jméno Norbert jest
Wilhelm i já jsme upíři, vzdej památce teď jeho čest
Obě části nápisu byly psány stejnou rukou.
„Jestli je to upír, měli bychom jej vykopat a zlikvidovat ho,“ konstatoval Armaglo.
(Úkol II.2: Byl v tom hrobě opravdu upír?)
Po vyřešení tohoto problému pátrala trojice dál. Většina hrobů vypadala neporušeně a na několika otevřených již měl Armaglo značku, že jejich majitelů se už nemusejí obávat. Posléze narazili na hrobku s velkými mramorovými dveřmi, jejichž jedno křídlo bylo odsunuté. Protáhli se tedy dovnitř.
Uvnitř se jim naskytl děsivý pohled. Na podlaze hořel kruh svíček, sarkofág vzadu byl otevřený a před ním seděly čtyři postavy – dva muži a dvě ženy. Seděli bez hnutí, jako by spali s otevřenýma očima. Alfréd věděl, že upíři mají hypnotické schopnosti a mohou své oběti zbavit vůle a ovládat je (přesto by neměli dokázat přinutit je lhát). Některé z postav tedy mohou být i lidé, které upíři ovládají.
Napadlo jej, že nejlépe rozřeší tuto otázku, když se přímo otáže: „Kolik z vás je upírů?“
„Jsou tu tři upíři a jeden z nich jsem já,“ odpověděl posměšně první muž.
„Upírek je tu právě tolik, jako mužů, jež upíry nejsou,“ dodala první žena.
„Není tu víc než jedna upírka,“ přidal se druhý muž.
„Všichni jsme upíři nebo já nejsem,“ pravila druhá z žen.
(Úkol II.3: Kdo z nich je upír a kdo ne?)
Alfréd snadno zjistil, kteří z nich jsou upíři. Než však stačil něco udělat, postoupil dopředu Armaglo a vyšplíchl z připravené kropenky řádnou spršku svěcené vody na celou čtveřici. Z upírů se ihned začalo kouřit a zuřivě vyrazili proti hrdinům. Armaglo skolil nejbližšího upíra kůlem, jeho družce se podařilo proměnit v netopýra, ale Leopold měl pro tyto případy připravenou síť a podařilo se mu ji zachytit a společně s Alfrédem dopřáli její duši klid.
„Toto přímočaré řešení má také svůj půvab,“ uznal Alfréd.
Zachránění lidé zůstali v bezvědomí ležet na zemi a Armaglo konstatoval, že budou v pořádku, jen co se vzpamatují.
Prohledali pak zbytek hřbitova, ale na další upíry již nenarazili.
„Zdá se, že všichni ostatní jsou v Latungově domě,“ řekl Armaglo.
„Co je to za dům?“ otázal se Alfréd.
Armaglo si odplivl.
„Ten chlap, Latunga, se přistěhoval asi před čtvrt rokem. Někdo si myslí, že to on je zodpovědný za nákazu upírství ve městě, ale možná je to jenom náhoda. V jeho domě se od začátku děly divné věci – v noci byl slyšet hluk, lidé mizeli… Ti tři , co přijeli před vámi, začali pátrání tam a ven už nevyšli.“
„Chcete říct, že kromě nás přijeli do Baglapondu i jiní cizinci?“
„Ovšem, před dvěma dny. Vy jste o tom neslyšeli? Za normálních okolností nemá povolen vstup nikdo, kdo není Jasanem, i Latunga musel prokázat, že mluví pravdu, než dostal povolení se tu usadit. Ale za této mimořádné situace jsme vpustili ty tři muže, když bylo ověřeno, že nejsou upíři. Slibovali, že upíry vymýtí, ale jak to dopadlo, vidíte sami.“
„V tom případě,“ prohlásil Alfréd, „musíme ten dům urychleně prohlédnout, dřív než padne noc.“
Latungův dům vypadal ve večerním slunci studeně a pochmurně. Kamenný štít se tyčil do výše a jako by se trochu nakláněl, zdobilo jej několik ohavných chrličů. Lepší sídlo si upíři sotva mohli vybrat.
„Pamatujme tedy,“ rekapituloval Alfréd, když zastavili před hlavním vchodem, „uvnitř mohou být lidé z města, kteří vždy mluví pravdu, upíři, kteří vždy lžou, a také tři cizinci, kteří mohou mluvit pravdu i lhát bez omezení. O cizincích víme, že jsou to muži a jistě nejsou upíry, je to tak?“
Armaglo přikývl. „Pokud je upíři dostali, což je celkem pravděpodobné, neměli dost času na proměnu. Budou zbavení vůle nebo mrtví, ale jistě z nich nebudou upíři.“
„Nuže jdeme,“ uzavřel Alfréd a otevřel dveře.
Vstupní hala domu byla temná a prázdná. Rozhodli se tedy projít pokoje jeden po druhém.
V prvním pokoji nebyl nikdo, ale v tom dalším spatřili čtyři postavy posedávat v křeslech a na pohovce, zřejmě se zrovna probouzely. Jeden byl starý muž s pleší, pak muž s plnovousem a mladík s kučeravými vlasy. Poslední byla žena v rudých šatech.
„Čekáš hosty, drahá?“ otázal se muž s plnovousem ledabyle, když spatřil přicházet trojici.
Dáma v červeném pokrčila rameny. „Zodpovězme jejich otázky. Chcete vědět, kteří z nás jsou upíři, že ano?“
Alfréd gestem zadržel Armagla s kropenkou a přistoupil blíž. Mohlo by být užitečné dozvědět se od upírů něco víc.
„Proč myslíte, že bych to chtěl vědět?“ opáčil.
„Je to taková zábavná hra,“ opáčil mladík znuděně. „Třeba tohle: Aspoň jeden z nás, co tu sedíme, je cizinec.“
„Upírů je tu méně, než lidí,“ přidala se dáma.
„Já nejsem člověk z města a cizinci jsou tu aspoň dva,“ pravil muž s plnovousem.
„Je tu právě jeden člověk z města a právě jeden cizinec,“ dodala dáma.
„Nezazněla tu žádná lež, kterou by pronesl cizinec,“ uzavřel starý muž.
(Úkol II.4: Kdo z nich je upír, kdo měšťan a kdo cizinec?)
Upíři byli náhle plní energie. Byli rychlejší a silnější než kterýkoliv člověk, přestože byl dosud den a neměli tedy své schopnosti plně rozvinuty. V nastalém boji přišel Armaglo o svou kropenku, Leopoldovi se jeden z upírů zakousl do ruky a Alfréd musel sáhnout ke zbrani, kterou si schovával jen pro stav nouze – česnekovému extraktu. Nakonec se jim však přece jen podařilo ve zdraví upíry zdolat.
„Zvláštní,“ dumal Alfréd zadýchaně, „co myslel tou hrou? Chtěl říct, že to není hra, nebo že není zábavná?“
„Upírů už zbývá jen několik,“ opáčil Armaglo, „pojďme je zničit, dokud je čas.“
V dalším pokoji narazili na dvě mladé ženy a jednoho muže. Ani oni je hned nenapadli, jako by cítili potřebu nejdřív jim sdělit, kým jsou.
„Já jsem člověk nebo on je upír,“ pravila blondýna a ukázala na muže mezi nimi.
„Ona je upírka,“ kývnul muž k brunetě.
„Aspoň jeden z nás není upír,“ pravila bruneta. „Ona je upírka,“ dodala ještě směrem k blondýně.
(Úkol II.5: Kdo z nich je upír, kdo měšťan a kdo cizinec?)
Vyřídit tento pokoj bylo celkem snadné a naše trojice brzy pokračovala dál. Prohledali ostatní pokoje, ale na nikoho dalšího už nenarazili.
„Zatím jsme našli jen jednoho cizince,“ poznamenal Alfréd, „musejí tu být ještě dva.“
„Zkusíme prohledat sklep,“ navrhl Armaglo.
Vypadalo to jako logické řešení, sestoupili tedy do sklepení.
Přivítal je chlad a zatuchlina, pach smrti a hniloby. Ocitli se v sklepní prostoře s podlahou z udusané hlíny, prázdné, až na dřevěnou konstrukci uprostřed – jednalo se o dva kůly zaražené do země a nahoře spojené vodorovnou příčkou. Mezi kůly stála dívka v bílých šatech, rozpřažené ruce připoutané každou k jednomu kůlu a hleděla příchozím v ústrety. Oči měla prázdné a mírně se usmívala.
„Jsem člověk nebo jsem upír,“ pravila zvolna, oči stále namířené do prázdna před sebe.
„Je to zřejmě člověk,“ poznamenal Alfréd tiše.
„Můj pán vás vítá,“ pokračovala dívka, „je rád, že jste došli až sem. Rád vás pozoroval, bavil se vašimi logickými úvahami, těšilo ho úsilí, s nímž jste se snažili odhalit jeho sluhy. To on jim rozkázal, aby vám dali možnost zjistit, kým jsou. Logické hádanky jsou jeho specialitou.“
V té chvíli se za jejich zády ozvalo: „Bude to asi znít banálně, ale ruce vzhůru.“
Když se trojice dobrodruhů obrátila, zjistili, že za jejich zády se neslyšeně otevřely skryté dveře a za nimi stojí tři muži a každý z nich na ně míří pistolí. Poněkud nečekané zbraně, když bojujete s upíry, pomyslel si Alfréd.
„Můj upíří pán,“ pokračovala dívka, „vám dává poslední šanci, poslední hádanku. Ne kvůli vám, ale pro své pobavení. Je jedním z těch tří mužů před vámi. Uhodněte který a dá vám šanci na útěk. V opačném případě zemřete na místě.“
„Jsem upír,“ pravil muž vlevo. „Žádný z nás není cizinec,“ dodal.
„Nejsem člověk z města,“ pravil muž uprostřed. „Její pán mezi námi není.“
„Aspoň jeden z nás je upír a nikdo z nás není člověk z města,“ pravil muž vpravo a dodal: „Já jsem její pán.“
„Mám odpověď pro tvého pána,“ pronesl Alfréd zvolna. Pomalým pohybem vytáhl z kapsy dýmku a vložil si ji do úst, ten jednoduchý pohyb jako by mu dodal klid. „Jeho hádanky jsou obdivuhodné,“ pokračoval, „a musím říct, že na okamžik mě dokázal zmást.“
Škrtl sirkou a zvolna plamínek přiblížil k vrstvě tabáku.
„Ale teď již vím,“ říkal přitom, „kdo je to.“ Obrátil zrak do očí jednoho z upírů. „Pan Latunga, nemýlím-li se.“
V tom okamžiku obsah dýmky vzplál a ukázalo se, že to nebyl tabák nýbrž solidní množství magnesiového prášku. Sklepní šero prozářil záblesk tak mocný, že i přítomní lidé na pár chvil oslepli, nemluvě o světloplachých upírech. Alfréd, který jediný včas zavřel oči, nyní bleskurychle vytáhl naostřený kůl a přiskočil k Latungovi, který upustil zbraň a oběma rukama si držel oči. Alfréd mu vrazil kůl do srdce.
(Úkol II.7: Který z mužů byl Latunga?)
Postavou upíra projel záškub a vzápětí už z něj zbyly jen šaty plné prachu. Zbylí dva hledali ztracený zrak, a jak se zdálo, pomalu se jim vracela vůle.
„Nerad bych se mýlil,“ pronesl Armaglo a protíral si oslněné oči, „ale zdá se, že jsme vyhráli.“
5. Implikace
Třetí binární logickou spojkou v pořadí je implikace. Implikace vyjadřuje vyplývání, tedy že z pravdivosti jednoho výroku plyne pravdivost jiného. Značí se značkou \(\rightarrow\) a ve větě se vyjadřuje pomocí konstrukce „pokud – pak“. Tedy třeba výrok: „Pokud budu mít hlad, dám si něco k jídlu,“ je příkladem implikace.
Zápis \(\left. A\rightarrow B \right.\) tedy znamená „z A vyplývá B“, také se říká „A implikuje B“.
Narozdíl od konjunkce a disjunkce u implikace záleží na pořadí, v němž jsou výroky uvedeny (v matematické terminologii se říká, že implikace není komutativní). Zatímco výrok \(A \land B\) říká totéž co výrok \(B \land A\) (a podobně \(A \vee B\) říká totéž co \(B \vee A\)), tak výroky \(\left. A\rightarrow B \right.\) a \(\left. B\rightarrow A \right.\) jsou naprosto rozdílné a znamenají něco zcela jiného.
Implikace má následující tabulku pravdivostních hodnot:
A | B | \(\left. A\rightarrow B \right.\) |
---|---|---|
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Dobře si ji prohlédněte. Můžete si všimnout, že implikace je nepravdivá jen v jediném případě, a sice, když první část je pravdivá a druhá část nepravdivá. Ve všech ostatních případech je celá implikace pravdivá.
Projděme si postupně všechny řádky tabulky pro výše uvedený výrok:
Pokud budu mít hlad, dám si něco k jídlu
Spojujeme zde výrok „budu mít hlad“ (výrok A) a výrok „dám si něco k jídlu“ (výrok B) do jednoho výroku pomocí implikace (\(\left. A\rightarrow B \right.\)).
První řádek tabulky vyjadřuje situaci, kdy jsou výroky A i B nepravdivé – nebudu mít hlad a nic k jídlu si nedám. Tabulka tvrdí, že v takovém případě je výrok \(\left. A\rightarrow B \right.\) pravdivý. Tomu se asi dá věřit. Když jsem řekl: „Pokud budu mít hlad, tak si dám něco k jídlu“, a potom jsem hlad neměl a nenajedl jsem se, nijak jsem neporušil svůj slib.
Druhý řádek už je zajímavější. Nastala situace, že jsem hlad neměl, a přesto jsem se najedl (třeba jsem narazil na nějakou opravdovou pochoutku). Porušil jsem nějak svůj slib? Nikoli! To, co jsem řekl, byla pravda, přesně jak to tabulka uvádí. Mluvil jsem totiž jenom o tom, co udělám v případě, že budu mít hlad, k opačnému případu jsem se vůbec nevyjadřoval, takže můj výrok byl pravdivý. Jinak řečeno, svým výrokem jsem si nezakázal jíst, bez ohledu na hlad, jen jsem vymezil podmínky, kdy se určitě musím najíst.
Na třetím řádku je ona jediná situace, kdy jsem svůj slib porušil – měl jsem hlad a nenajedl jsem se. Můj výrok byl tedy nepravdivý.
Čtvrtá situace je jednoduchá – měl jsem hlad a najedl jsem se, v takovém případě je můj výrok samozřejmě pravdivý.
Jak vidíte, zejména druhý řádek může být trochu matoucí, tak se tím nenechte zmást. Ať již máme jakoukoliv implikaci, tedy výrok tvaru „Pokud A pak B“, je nepravdivá jen v jediném případě, když A platí a B neplatí. Když A neplatí, je implikace pravdivá bez ohledu na B, protože se vyslovovala pouze k situaci, kdy A platí, o opačné situaci neříkala nic. (Přečtěte si prosím tento odstavec ještě alespoň jednou a ujistěte se, že je vám jasné, co se v něm říká.)
Může vám to připomenout příklady se studenty angličtiny a matematiky z druhé kapitoly. Skutečně je to stejný případ. Výrok:
Všichni žáci, kteří studují matematiku, studují i angličtinu
můžeme přeformulovat pomocí implikace takto:
Pokud žák studuje matematiku, pak studuje i angličtinu
To je skutečně stejné tvrzení. Jedná se o spojení dvou výroků:
Žák studuje matematiku
Žák studuje angličtinu
do jednoho výroku pomocí implikace. Celá implikace je nepravdivá v jediném případě, když žák studuje matematiku, ale nestuduje angličtinu, ve všech ostatních případech je pravdivá.
Řekněme to ještě jinak: implikace vyjadřuje vyplývání – tvrdí, že z prvního výroku vyplývá druhý výrok. Naopak neříká nic o tom, zda z druhého výroku vyplývá první, to je docela jiné tvrzení.
S něčím podobným už jsme se setkali v příkladu s velrybami. Pomocí implikace můžeme výroky o velrybách vyjádřit takto:
Pokud je někdo velryba, pak je také savec
Pokud je někdo savec, pak je také velryba
Jak už jsme ukázali, tyto dva výroky rozhodně neříkají totéž, jsou zcela nezávislé (v našem světě platí, že první je pravdivý a druhý nepravdivý).
Víme tedy, že výrok vzniklý spojením dvou výroků pomocí implikace je ze všech čtyř možností nepravdivý jen v jednom případě (když první výrok platí a druhý neplatí). Víme také, že disjunkce je na tom podobně, také je nepravdivá jen v jednom případě (když oba výroky neplatí). Není tedy překvapením, že implikaci můžeme velmi snadno vyjádřit pomocí disjunkce. Výrok: \(\left( A\rightarrow B \right)\) říká totéž co výrok \(\left( \neg A \vee B \right)\).
Takže výrok
Pokud budu mít hlad, dám si něco k jídlu
můžeme přeformulovat na výrok:
Nebudu mít hlad nebo si dám něco k jídlu
Implikace vlastně není nic jiného než disjunkce v trošičku jiné podobě. Proč by tedy měla dělat takové problémy, říkáte si možná. Nu, je to zvláštní, ale problémy opravdu dělá. Snad je to tím, že výroky typu „Pokud platí X, pak platí Y“ vnímáme podvědomě jinak než „Neplatí X nebo platí Y“, přestože z logického hlediska je to vlastně totéž.
Nyní vás může napadnout otázka, jak určit negaci implikace. Je to velice jednoduché, ale pozor na to, často se v tom chybuje. Negace implikace je výrok, který platí právě v té jediné situaci, kdy je implikace nepravdivá – když první výrok je pravdivý a druhý nepravdivý. Negace našeho výroku
Pokud budu mít hlad, dám si něco k jídlu
bude tedy znít:
Budu mít hlad a nedám si něco k jídlu
Ke stejnému výsledku bychom dospěli, pokud bychom vyšli z výroku v podobě disjunkce – „Nebudu mít hlad nebo si dám něco k jídlu“, a použili princip záměny konjunkce a disjunkce. Vidíte, že je to skutečně totéž tvrzení.
Chybou by však bylo pokusit se vyjádřit negaci implikace opět pomocí implikace. Například u výroku:
Pokud je předmět kulatý, pak je to koule
by nás mohlo napadnout vyjádřit negaci takto:
Pokud předmět není kulatý, pak to není koule
ovšem tím bychom dali najevo, že jsme vůbec nic nepochopili. To jsou naprosto nezávislé výroky. Když je převedeme na disjunkci, dostaneme:
Předmět není kulatý nebo je to koule
Předmět je kulatý nebo to není koule
Pro kouli jsou oba výroky pravdivé, stejně tak pro krychli. Pro disk je první výrok nepravdivý a druhý pravdivý, pro pětku v žákovské knížce je zase první pravdivý a druhý nepravdivý. Jediné, co nenajdete, je předmět, pro který by oba výroky byly nepravdivé – takový předmět by musel být i nebýt kulatý a být i nebýt koule.
Správná negace prvního výroku tedy zní:
Předmět je kulatý a není to koule
Správná negace druhého výroku zní:
Předmět není kulatý a je to koule
Můžeme na to nahlédnout ještě trochu jinak a představit si implikaci jako vyjádření podmnožiny: výrok \(\left. A\rightarrow B \right.\) je pravdivý tehdy, pokud A je podmnožinou B (v každé situaci, kdy platí A, platí i B – čili neexistuje situace, kdy by A platilo a B neplatilo).
Pokud vám množiny nic neříkají, nemusíte se s tím trápit, není to tak důležité – ale rozhodně je to zajímavé.
V tabulce pravdivostních hodnot pro implikaci si můžete všimnout, že vždy, když je výrok A nepravdivý, implikace je pravdivá, a vždy, když je výrok B pravdivý, implikace je pravdivá. Můžeme to vyjádřit následovně:
- Z nepravdy vyplývá cokoliv.
- Pravda vyplývá z čehokoliv.
To, že z pravdy vyplývá pravda a z nepravdy nepravda, je asi jasné. Důležitějším důsledkem těchto tvrzení je fakt, že z nepravdy vyplývá i pravda.
Když tedy například pronesu tvrzení:
Pokud jedna a jedna jsou tři, pak mám v kapse milión dolarů
říkám zcela jistě pravdu, bez ohledu na to, co mám v kapse. Výrok „Jedna a jedna jsou tři“ je totiž nepravdivý a implikace, která má na začátku nepravdivý výrok, je pravdivá, bez ohledu na druhý výrok.
Podobně když řeknu:
Pokud je na Marsu inteligentní život, pak jedna a jedna jsou dvě
zase mám pravdu, bez ohledu na to, jak je tomu s Marsem.
Doufám, že teď už je vám implikace o něco jasnější, přesto nepochybuji, že mnohým z vás pořád připadá podivná až zamotaná. Tahle potíž s implikací může do jisté míry tkvět v tom, že větu ve tvaru „pokud X pak Y“ můžeme chápat dvěma způsoby – buďto jako tvrzení o konkrétní situaci, nebo jako vyjádření nějakého obecného principu.
Například výrok:
Pokud jsem Číňan, pak jím rýži
lze chápat buď jako popis konkrétní situace, anebo jako vyjádření obecně platného pravidla, jak se chovají Číňané.
Z hlediska výrokové logiky má smysl pouze první způsob chápání – spojuji dva výroky do jednoho pomocí implikace (jsou to výroky „Jsem Číňan“ a „Jím rýži“). Pravdivost implikace pak vyplývá z toho, jak jsou na tom s pravdivostí tyto dva výroky (jediný případ, kdy lžu, je ten, když jsem Číňan a rýži nejím).
Druhý způsob chápání, tedy něco jako: „pro každého člověka platí, že pokud je Číňanem, pak jí rýži,“ už je mimo výrokovou logiku a k určení pravdivosti takového výroku je zapotřebí jiných nástrojů, než probíráme v této knize.
Podívejme se na další zádrhel s implikacemi. Od věty ve tvaru „pokud X pak Y“ jaksi automaticky očekáváme vyjádření nějakého vztahu mezi výroky X a Y, a když tam žádný vztah není, jsme zmateni. Třeba výrok:
Pokud naše slepice snáší vajíčka, zítra bude pršet
nám může připadat jako nesmyslný – jak by mohl zítřejší déšť záviset na nějaké slepici? Jenomže tohle opět není starost výrokové logiky. Té je zcela jedno, jestli existuje nebo neexistuje nějaká závislost mezi slepicí a deštěm, ona nám jen umožní analyzovat konkrétní situaci. Když se ukáže, že slepice vajíčka snášela a přesto nepršelo, výrok byl nepravdivý, ve všech ostatních případech byl výrok pravdivý. Nic víc pomocí výrokové logiky odhalit nelze.
Příklad 1
Dejme tomu, že nějaký obyvatel země Jasanů a Mámů pronese následující výrok:
Pokud jsem Jasan, tak mám doma růžového slona
Co z toho usoudíte?
Jak si asi vzpomínáte, takový výrok už jsme tu měli a říkali jsme si, že žádný Mám jej nemůže vyslovit, ovšem důkaz vám zatím dlužím. Hned to napravíme.
Předpokládejme, že mluvčí je Mám. Potom jeho výrok je nepravdivý a z tabulky pravdivostních hodnot víme, že v takovém případě musí být první část výroku pravdivá a druhá nepravdivá. Takže je to Jasan a nemá doma růžového slona – což je spor s předpokladem, že je to Mám.
Jelikož předpoklad, že je to Mám, vedl ke sporu, musí to být Jasan, jeho výrok je tedy pravdivý. Víme, že první část výroku je pravdivá, proto aby byl celý výrok pravdivý, musí být pravdivá i druhá část, takže je jasné, že má doma růžového slona.
Příklad 2
Jiný obyvatel země Jasanů a Mámů pronese výrok:
Pokud se nejmenuji Karel, tak jsem Mám
Co usoudíte tentokrát?
Opět dokážete s jistotou určit, že mluvčí je Jasan. Kdyby to byl totiž Mám, tak druhá část implikace by byla pravdivá a tím pádem by byl pravdivý i celý výrok (bez ohledu na to, jak se mluvčí jmenuje). Je to tedy Jasan a jelikož druhá část implikace je nepravdivá, tak aby celý výrok byl pravdivý, musí být nepravdivá i první část (podívejte se do tabulky a ověřte si, že je to skutečně tak). Je to tedy Jasan a jmenuje se Karel.
Příklad 3
Mějme dva obyvatele země Jasanů a Mámů, A a B, a ti řeknou:
A: Pokud jsem Mám, tak jsem Jasan
B: Pokud jsem Jasan, tak jsem Mám
Výrok A se může zdát divný, ale vlastně na něm není nic špatného. Může ho vyslovit Mám, potom je to nepravda (první část výroku je pravdivá a druhá nepravdivá), může ho ale vyslovit i Jasan a potom je to pravda (první část výroku je nepravdivá a druhá pravdivá). Takže z takového výroku nezjistíme vůbec nic.
Výrok B je ovšem mnohem problematičtější. Pokud by B byl Jasan, tak první část výroku je pravdivá a druhá nepravdivá, celý výrok by tedy byl nepravdivý, a to je spor. Naopak pokud by to byl Mám, tak první část výroku je nepravdivá, druhá pravdivá, takže celý výrok je pravdivý, a to je zase spor. Z toho plyne, že B nemůže být ani Jasan ani Mám. (Vida, udělal jsem to zas. Teď už si na to dám pozor.)
Ještě jednu věc bychom si u implikace měli ukázat. Jak už jsme si řekli a jak bylo ostatně vidět i z minulého příkladu, výroky \(\left. A\rightarrow B \right.\) a \(\left. B\rightarrow A \right.\) říkají každý něco jiného. Skutečně když někdo prohlásí:
1) Pokud se jmenuji Karel, tak bydlím v Praze
tak lže pouze v případě, že se jmenuje Karel a v Praze nebydlí.
Když naopak řekne:
2) Pokud bydlím v Praze, tak se jmenuji Karel
tak lže jedině v případě, že bydlí v Praze a nejmenuje se Karel.
Platí tedy, že Karel z Prahy v obou případech mluví pravdu, Václav z Brna by rovněž v obou případech mluvil pravdu, Petr z Prahy by v prvním případě mluvil pravdu a ve druhém lhal a Karel z Liberce by v prvním případě lhal a ve druhém mluvil pravdu.
Jediné co můžete s jistotou prohlásit, je to, že oba výroky nemohou být současně nepravdivé. Pokud by tedy oba tyto výroky pronesl někdo z Jasanů a Mámů, tak víte jistě, že je to Jasan. Z toho vyplývá, že oba výroky jsou pravdivé, a musí to být tedy Karel z Prahy, anebo někdo, kdo se Karel nejmenuje a v Praze nebydlí (to je u Jasana o něco pravděpodobnější).
Vidíte tedy, že přestože výroky \(\left. A\rightarrow B \right.\) a \(\left. B\rightarrow A \right.\) říkají každý něco jiného, úplně nezávislé nejsou – to je pochopitelné, když pracují se stejnými výroky A a B.
Může nás napadnout, jestli by se nedala implikace nějak „otočit“ tak, aby význam zůstal nezměněn. Ano, jde to, ale musíme použít negaci. Víme přece, že implikaci můžeme s použitím negace převést na disjunkci a tu můžeme otáčet podle libosti (narozdíl od implikace je disjunkce komutativní). Výrok \(\left. A\rightarrow B \right.\) tedy převedeme na \(\neg A \vee B\), což je totéž jako \(B \vee \neg A\), a to můžeme převést na \(\left. \neg B\rightarrow\neg \right.\)A.
Takže výrok
Pokud se jmenuji Karel, tak bydlím v Praze
můžeme převést na
Nejmenuji se Karel nebo bydlím v Praze
což je totéž co
Bydlím v Praze nebo se nejmenuji Karel
a to je totéž jako
Pokud nebydlím v Praze, tak se nejmenuji Karel
Tyto čtyři výroky znamenají zcela totéž.
Naopak výrok
Pokud bydlím v Praze, tak se jmenuji Karel
můžeme postupně přeformulovat na výroky
Nebydlím v Praze nebo se jmenuji Karel
Jmenuji se Karel nebo nebydlím v Praze
Pokud se nejmenuji Karel, tak nebydlím v Praze
Význam těchto výroků je opět stejný, ale jiný než v případě předchozích čtyř výroků.
Protože tohle je opravdu důležité, ještě jednou si to shrňme – můžeme si to třeba nazvat
Pravidlo obrácené implikace
1) výrok \(\left. A\rightarrow B \right.\) znamená totéž co výrok \(\left. \neg B\rightarrow\neg A \right.\)
2) výrok \(\left. A\rightarrow B \right.\) znamená totéž co výrok \(\neg A \vee B\)
3) výrok \(\left. A\rightarrow B \right.\) NEZNAMENÁ totéž co výrok \(\left. B\rightarrow A \right.\)
Vryjte si do paměti zejména bod 3), nejčastější chyby plynou právě z jeho opomenutí.
Nyní tedy víte, jak funguje implikace, a měli byste být schopni ji znegovat. Přestože umíme implikaci vyjádřit pomocí větné konstrukce „pokud – pak“, narozdíl od konjunkce a disjunkce to není tak úplně přímočaré a spoléhat se na přirozené chápaní tohoto větného vyjádření nám k pochopení vlastností implikace nestačí.
Přesto, či možná právě proto je implikace snad vůbec nejdůležitější logickou spojkou, jelikož přesně odpovídá procesu vyplývání, což je jeden ze základních procesů, které logika zkoumá. Vyplývání představuje způsob, jak z informací, které už máme, odvodit nějaké nové poznatky. Například takto:
Víme, že každá velryba je savec. Víme také, že každý pes je savec. Náš Alík je pes. Z toho tedy vyplývá, že náš Alík je savec.
Je ovšem třeba mít na paměti, že implikace (a tedy i vyplývání) „funguje“ jen jedním směrem, nemůžeme ji jednoduše otočit. Pokud na to zapomeneme, můžeme dojít ke zcela nesprávným závěrům, například:
Víme, že každá velryba je savec. Víme také, že každý pes je savec. Paní Pivoňková včera říkala, že ten náš Alík snad ani není pes. Z toho tedy vyplývá, že náš Alík je velryba.
K vyplývání se ještě vrátíme v poslední kapitole. V následující kapitole si ukážeme logickou spojku, která narozdíl od implikace „funguje“ oběma směry – ekvivalenci. Ještě předtím se ale můžeme podívat na několik zajímavých kriminálních případů.
Příklady k procvičení
5.1 Určete správnou negaci výroku: „Pokud bude dnes hezky, zítra bude pršet.“
5.2 O jistém člověku byl vysloven výrok: „Pokud je to Číňan,
pak se jmenuje Karel.“
Pro koho z těchto lidí je výrok pravdivý? Čecha Karla, Angličana Johna, Číňana Karla, Číňana Wena?
5.3 Jeden výletník prohlásil: „Jestliže je úterý, musíme být v Belgii.“ Pak se ukázalo, že se mýlil. Co z toho plyne?
5.4 V zemi Jasanů a Mámů se baví dva lidé:
A: „Jestliže jsi Mám, tak dnes je pátek.“
B: „Pokud je to pravda, tak zítra bude sobota.“
Kdo byl kdo? Dá se určit, co bylo za den?
5.5 Jindy se baví další dva:
A: „Pokud je dnes sobota, tak zítra bude pondělí.“
B: „Pokud je dnes pondělí nebo úterý, tak včera byl čtvrtek.“
A: „Pokud je neděle, tak pozítří bude středa.“
B: „A pokud je středa nebo čtvrtek, předevčírem byl pátek.“
Kdo byl kdo a co bylo za den?
Třetí intermezzo: Z vyšetřovacích spisů
Kromě svých dobrodružných cest po cizokrajných končinách proslul Alfréd Pěnička především jako detektiv. Podílel se na mnoha zajímavých případech, někdy na vlastní pěst, jindy jako konzultant Scotland Yardu, francouzské Sûreté, Pinkertonovy agentury či Pražské čtyřky.
V mnoha těchto případech musel zapojit do boje s kriminálními živly nejen své fyzické schopnosti, přesnou mušku a pozorovací talent, ale též svůj brilantní úsudek.
Na základě zpráv z dobového tisku přinášíme několik příkladů.
III.1
Dva muži, A a B, byli zatčeni pro podezření z vyloupení pošty. Z následujícího vyšetřování vyplynula tato fakta:
- pokud je A nevinen, tak B je jistě vinen.
- pokud je B vinen, tak A je jistě také vinen.
Dá se určit, zda je někdo z nich vinen?
III.2
Ztratily se peníze z trezoru Londýnské královské banky. Vyšetřování přineslo tato zjištění:
- k trezoru se v inkriminovanou dobu mohl dostat jen pokladník, šéf bezpečnosti a ředitel
- pokladník nemohl trezor otevřít bez cizí pomoci
- ředitel se jistě nespolčil s pokladníkem
- pokud by šel do akce šéf bezpečnosti, tak jedině se dvěma společníky
Lze někoho z nich zatknout pro krádež?
III.3
Jedné noci bylo vyloupeno jisté pařížské klenotnictví. Byli zadrženi čtyři podezřelí – dva muži (Alain a Benoit) a dvě ženy (Cellie a Diana). Zjistilo se toto:
- nikdo jiný než tito čtyři se na loupeži nemohl podílet
- podle svědků jedním z pachatelů byla jistě žena
- Cellie nikdy nepracuje ve skupině, kde je víc žen než mužů
- Benoit a Diana pracují jedině spolu
- pokud akci provedli právě dva pachatelé, Alain byl jeden z nich
- Benoit s Alainem nikdy nespolupracuje
Je možné někomu prokázat vinu?
III.4
Tři muži, A, B a C, byli podezřelí z vraždy. Policie vyloučila, že by do případu byl zapleten ještě někdo další. Podle lékaře k vraždě došlo mezi osmou hodinou večerní a šestou hodinou ranní. Dále se zjistilo:
- A má alibi na 19:00-2:00 a na 5:00-9:00
- mezi 24:00 a 5:00 byl na místě činu kromě oběti pouze jeden člověk (ne nutně vrah)
- C se od půlnoci do šesti sám bojí, jistě by nespáchal žádný zločin bez cizí pomoci
- B nemohl vraždit bez pomoci A
- pokud k vraždě došlo před půlnocí, pak pachatelé byli alespoň dva
Lze někomu z A, B a C prokázat vraždu?
III.5
Tři Chicagští bankéři A, B a C byli podezřelí z nezákonných finančních machinací. Byli vyslechnuti na detektoru lži, kde vypověděli následující (v závorce je hodnocení detektoru):
Otázka na A: „Spáchal někdo z vás zločin, z něhož jste obviněni?“
A: „Pokud ano, tak jistě jen jeden z nás.“ (lež)
Otázka na B: „Jste vinen?“
B: „Jsme vinni já i C, anebo žádný z nás.“ (pravda)
Otázka na C: „Je A vinen?“
C: „Pokud ano, tak já nejsem.“ (pravda)
Byl někdo z nich vinen?
III.6
Tři muži, opět pro potřeby vyšetřovacího spisu označeni jako A, B a C, byli podezřelí z loupežného přepadení – nebylo však jisté, zda do zločinu nebyl zapleten ještě někdo další. Při křížovém výslechu vypověděli:
A: „Nikdo z nás to neudělal.“
B: „A a C jsou oba vinni.“
C: „Pokud jsem to udělal já, tak určitě ne sám.“
A: „Pokud to byl B, tak C byl s ním.“
B: „Já to nebyl.“
C: „Pokud je B vinen, tak já jsem také vinen.“
Další vyšetřování ukázalo, že každý z nich jednou říkal pravdu a jednou lhal. Kdo z nich se podílel na loupeži?
III.7
Z vyloupení jisté galérie v Římě byli podezřelí čtyři muži, A, B, C a D. Při výslechu řekli:
A: „Udělal to B a já jsem nevinen.“
B: „To není pravda.“
A: „Ale ano! Byl to B a C mu pomáhal.“
C: „Byl to B nebo D.“
D: „Vše, co tu dosud zaznělo, je lež.“
B: „A se na tom podílel v každém případě.“
D: „To vloupání spáchali maximálně tři.“
C: „Já jsem to nebyl.“
Další šetření prokázalo, že každý z nich alespoň jednou mluvil pravdu. Kdo z nich je vinen? Je vinen ještě někdo další?
III.8
Lord Grave Yard byl zavražděn. Čin byl spáchán ranou do hlavy tupým předmětem a podle stop na místě činu byl pachatel sám. Vrah konal chladnokrevně a byl příčetný, jistě věděl, co dělá. V domě byli v noci přítomní jen manželka zesnulého lady Yardová, právník Wilfred S. Mile, hospodyně paní Inchová a zahradník James Foot.
Vyšetřování prokázalo následující fakta:
- vrahem je někdo z těchto čtyř podezřelých
- v domě je někdo, kdo sice není vrahem, ale vraha zná
- jestliže vrahem byl právník, tak lady Yardová o tom musela vědět
- pokud právník zná vraha, tak to byl on sám
- čin mohl být spáchán jedině bronzovou soškou z krbové římsy, nebo pohrabáčem
- podle otisků prstů drželi sošku všichni kromě právníka (otisky nebyly setřeny ani dotykem rukavic)
- pokud byl čin spáchán soškou, zahradník neví, kdo je vrah
- pokud zahradník neví, kdo je vrah, neví to ani hospodyně
- pokud byl vražedným nástrojem pohrabáč, tak lady Yardová jistě vraha nezná
- pokud hospodyně vraždila pohrabáčem, právník o tom věděl
Kdo je vrah?
III.9
Následující případ se týká krádeže svatoštěpánské koruny z muzea v Budapešti. Po několika týdnech usilovného pátrání se Interpolu podařilo zjistit, že dva pachatelé se patrně ukryli v jednom buddhistickém klášteře v horách Laosu, kde se jim podařilo vmísit mezi mnichy. Detektivové ihned vyrazili na místo a našli pět mnichů, kteří odpovídali popisu. Ukázalo se však, že všichni složili slib mlčení (anebo to aspoň předstírali), na otázky mohli jen kývnout nebo zavrtět hlavou – jejich odpovědi tedy mohly být jen ano nebo ne. Praví mniši byli vázáni pravdomluvností, ovšem ti falešní mohli lhát i mluvit pravdu, jak se jim to hodilo. Velký láma, představený kláštera, povolil vyšetřovatelům položit každému podezřelému jednu otázku.
Výslech vedl Alfréd Pěnička a jeho průběh vypadal takto (podezřelí mniši jsou označeni písmeny A-E):
otázka na A: „Jste vy i bratr B praví mniši?“
A: „Ne.“
otázka na B: „Je pravda, že pokud je jeden z bratrů A a C falešný, tak je falešný i druhý?“
B: „Ano.“
otázka na C: „Je to, co řekl bratr B, pravda?“
C: „Ne.“
otázka na D: „Je bratr A pravý mnich“
D: „Ne.“
otázka na E: „Je bratr B pravý mnich?“
E: „Ano.“
Byli oni dva zločinci mezi těmito pěti mnichy? Pokud ano, kteří to byli?
III.10
Podobný případ se stal asi o tři roky později, snad se pachatelé nechali inspirovat, kdo ví. Z Ermitáže v Petrohradu bylo uloupeno žezlo Petra Velikého a dvojice pachatelů se opět schovala do kláštera, byl to jistý malý klášter ukrytý v pustých lesích na východě Makedonie. I tentokrát byl Interpol zlodějům na stopě a detektivové dorazili do kláštera nedlouho po nich. Vytipovali čtyři podezřelé, a jak se dalo očekávat, všichni drželi slib mlčení, mohli tedy odpovídat jen přikývnutím či zavrtěním hlavou. Případ byl však tentokrát ještě zapeklitější – někteří z mnichů byli totiž Bulhaři a ti jak známo přikývnutím myslí nesouhlas a zavrtěním hlavou souhlas. Byli tu ovšem i mniši z jiných zemí a ani velký láma si nebyl jistý, jak to přesně je. Povolil tedy policistům položit každému ze čtyř podezřelých jednu otázku, aby to mohli zjistit.
Výslech vypadal takto:
otázka na A: „Jsou všichni praví mniši mezi vámi čtyřmi Bulhaři?“
A: přikývl
otázka na B: „Kdybych se vás ptal, zda jste pravý mnich, přikývl byste?“
B: zavrtěl hlavou
otázka na C: „Je pravda, že pokud je bratr D pravý mnich, tak jste Bulhar?“
C: přikývl
otázka na D: „Je bratr C pravý mnich?“
D: přikývl
Jsou oba zločinci mezi těmito čtyřmi mnichy? Pokud ano, kteří to jsou?
6. Ekvivalence
Poslední logickou spojkou, kterou se budeme zabývat, je ekvivalence. Značí se značkou \(\leftrightarrow\), což by mohlo napovídat, že se jedná o něco jako oboustrannou implikaci – a je to skutečně tak, řekneme-li \(\left. A\leftrightarrow B \right.\), je to totéž, jako bychom řekli \(\left. A\rightarrow B \right.\) a zároveň \(\left. B\rightarrow A \right.\). Jsou-li tedy dva výroky ekvivalentní, znamená to, že z jednoho vyplývá druhý a současně z druhého vyplývá první. To se ovšem dost obtížně představuje, zvláště když víme, jak komplikované je někdy uvědomit si, jak přesně se chová implikace.
Ekvivalenci si naštěstí můžeme představit velice snadno – neříká totiž nic jiného, než že výroky, mezi nimiž je vztah ekvivalence, jsou oba pravdivé, nebo oba nepravdivé. Ekvivalence má tedy takovouto tabulku pravdivostních hodnot:
A | B | \(\left. A\leftrightarrow B \right.\) |
---|---|---|
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Ve výrocích v přirozeném jazyce se pro vyjádření ekvivalence používají spojky „právě když“ nebo „tehdy a jen tehdy“, případně můžeme prostě říct, že výroky „jsou ekvivalentní“.
Například výrok:
Dnes zryju zahrádku, právě když zítra posekám trávník
je pravdivý v případě, že zryju zahrádku a posekám trávník, a také v případě, že nezryju zahrádku a neposekám trávník. V případě, že udělám jen jedno z toho, výrok je nepravdivý.
Negací výroku \(\left. A\leftrightarrow B \right.\) je výrok \(\left( A \land \neg B \right) \vee \left( \neg A \land B \right)\), tedy „platí A a neplatí B, nebo neplatí A a platí B“. Jednodušeji to lze vyjádřit: „platí právě jeden z výroků A a B“. Také by se dala použít spojka „výlučně nebo“, kterou lze vyjádřit spojením „buď A, anebo B“, ale tomu se obvykle raději vyhýbáme, aby se to nepletlo s disjunkcí.
Příklad 1
Dejme tomu, že nějaký obyvatel země Jasanů a Mámů řekne:
Jsem Jasan, právě když jsem Mám.
Co z toho usoudíte?
Je zřejmé, že první a druhá část ekvivalence je ve sporu, jedna je tedy pravdivá a druhá nepravdivá, takže celá ekvivalence je nepravdivá. Je to tedy Mám.
Příklad 2
Jiný obyvatel země Jasanů a Mámů řekne:
Jsem Jasan, právě když tato cesta vede k pokladu.
Co z toho usoudíte?
Je to jednoduché. Pokud by to byl Jasan, pak by první část ekvivalence byla pravdivá, a proto aby celá ekvivalence byla pravdivá, musí být pravdivá i druhá část. Takže cesta vede k pokladu. Naopak pokud je to Mám, pak první část ekvivalence je nepravdivá, a proto aby celá ekvivalence byla nepravdivá, musí být druhá část pravdivá.
Takže nevíme, jestli je to Jasan nebo Mám, ale víme jistě, že cesta vede k pokladu.
Příklad 3
Nyní mějme dva obyvatele země Jasanů a Mámů, a ti řeknou:
A: Jsem Jasan, právě když B je Jasan.
B: To není pravda.
Co z toho usoudíte?
To, co řekl A, znamená totéž, jako by řekl: B je stejného přesvědčení jako já – a už víme, že v takovém případě je B jistě Jasan. Skutečně pokud A je Jasan, tak B musí být taky Jasan (aby výrok A byl pravdivý), naopak pokud A je Mám, tak B musí být Jasan (aby výrok A byl nepravdivý). B je tedy Jasan a mluví pravdu, když říká, že A lže, A je tedy Mám.
Vrátíme-li se k pohledu na výroky jako na množiny, pak spojka ekvivalence odpovídá rovnosti množin – výroky jsou ekvivalentní, když jsou pravdivé ve stejných situacích.
Někdy se můžeme setkat s použitím ekvivalence pro více než dva výroky, například když řekneme: „všechny výroky A, B, C a D jsou vzájemně ekvivalentní“. Neznamená to nic jiného, než že každá dvojice z těchto výroků je ekvivalentní, tj. že všechny tyto výroky jsou pravdivé, nebo že jsou všechny nepravdivé.
Tím jsme probrali poslední logickou spojku, ale naše exkurze do výrokové logiky ještě nekončí. V poslední kapitole se podíváme trochu blíže na obecné pojetí ekvivalence a vyplývání a uvidíme, že v mnoha případech to může být o něco složitější, než jsme viděli dosud.
Příklady k procvičení
6.1 Určete správnou negaci výroku: „Zítra bude pršet, právě když dnes bude hezky.“
6.2 V zemi Jasanů a Mámů se baví dva lidé a pronesou tyto výroky:
A: „Včera jsi říkal, žes vyhrál v loterii, a byla to pravda.“
B: „Tvé tvrzení je ekvivalentní tomu, že jsi Mám.“
Kdo je kdo?
6.3 Jiní dva obyvatelé pronesou
A: „Jmenuji se Albert, právě když ty se jmenuješ Bedřich.“
B: „Jmenuji se Bedřich, právě když ty se jmenuješ Alexandr.“
A: „Jmenuji se Alexandr, právě když ty jsi Jasan.“
B: „Jmenuješ se Albino.“
Kdo je kdo a jak se jmenují? (Předpokládáme, že žádný nemá dvě jména).
6.4 Který z těchto výroků není ekvivalentní s ostatními?
„Pokud je Pavel z Prahy, tak Miloš nebo Václav není z Brna.“
„Pokud je Pavel z Prahy, tak není pravda, že Miloš s Václavem jsou oba z Brna.“
„Pokud Miloš i Václav jsou z Brna, tak Pavel není z Prahy.“
„Miloš není z Brna nebo Václav není z Brna nebo Pavel není z Prahy.“
„Pokud Miloš nebo Václav není z Brna, tak Pavel je z Prahy.“
7. Vyplývání, ekvivalence a empirické výroky
Nyní již znáte logické spojky implikaci (která odpovídá vyplývání) a ekvivalenci. Nicméně s pojmy vyplývání a ekvivalence se můžete setkat i v trochu jiné podobě, než jako označení logických spojek, a je velice důležité si tento rozdíl uvědomit.
Jak si možná vzpomínáte, ve třetí kapitole jsme si rozdělovali výroky na analytické (to jsou ty, jejichž pravdivost je jednoznačně dána) a empirické (jejich pravdivost závisí na situaci).
Analytickými výroky jsou třeba tyto (označíme je A a B):
A: 1 + 1 = 2
B: Každé prvočíslo větší než 2 je liché
Tyto výroky jsou pravdivé, bez ohledu na jakékoliv další okolnosti. Pokud tedy budeme uvažovat výroky \(\left. A\rightarrow B \right.\), případně \(\left. A\leftrightarrow B \right.\), můžeme zcela bez problémů rozhodnout, že i tyto výroky jsou pravdivé (implikace dvou pravdivých výroků je pravdivý výrok, stejně tak ekvivalence dvou pravdivých výroků je pravdivý výrok).
Naproti tomu tyto výroky (označme je C a D) jsou empirické:
C: Praha je hlavní město České republiky
D: Český prezident je Václav Klaus
Pravdivost těchto výroků závisí na okolnostech. V současné době jsou oba dva pravdivé, ale je možné, že v době, kdy čtete tuto knihu, výrok D již neplatí. Stejně tak i výrok C se může časem změnit, kdo ví. V současné situaci (někdy říkáme „v tomto stavu světa“) jsou tedy výroky C a D oba pravdivé, proto i výroky \(\left. C\rightarrow D \right.\), případně \(\left. C\leftrightarrow D \right.\) jsou pravdivé. Ale při jiném stavu světa už tyto výroky být pravdivé nemusejí.
Pokud o nějakých dvou empirických výrocích X a Y řekneme, že z X vyplývá Y, máme obvykle na mysli to, že výrok \(\left. X\rightarrow Y \right.\) je pravdivý ve všech možných situacích. Tedy že nemůže nastat situace, kdy by výrok X platil a výrok Y neplatil. Podobně když o výrocích X a Y řekneme, že jsou ekvivalentní, myslíme tím, že výrok \(\left. X\leftrightarrow Y \right.\) je pravdivý ve všech možných situacích, a tedy že nemůže nastat situace, kdy by jeden z výroků platil a ten druhý neplatil.
V současném stavu světa je sice výrok \(\left. C\rightarrow D \right.\) pravdivý, ale rozhodně není pravda, že z výroku „Praha je hlavní město České republiky“ vyplývá výrok „Václav Klaus je český prezident“. Jakmile bude zvolen prezidentem někdo jiný, výrok \(\left. C\rightarrow D \right.\) začne být nepravdivý, není tedy pravda, že je pravdivý ve všech možných situacích, tedy neplatí, že z C vyplývá D. Stejně tak je zřejmé, že výroky C a D nejsou ani ekvivalentní.
Jak je vidět, takovéto vyplývání platí jedině tehdy, pokud mezi výroky existuje vztah, který zajistí, že druhý výrok nikdy nemůže neplatit, když platí první výrok. Například z výroku
Všichni žáci 4. B prospívají s vyznamenáním
určitě vyplývá výrok
Nejstarší žák 4. B prospívá s vyznamenáním
Je jasné, že pokud s vyznamenáním prospívají všichni, musí i ten nejstarší (k určitým problémům by mohlo dojít leda tehdy, kdyby ve 4. B nebyl žádný žák, ale to teď nechme stranou).
Podobně třeba z výroku
Oba moji rodiče pocházejí z Anglie
určitě vyplývá výrok
Alespoň jeden z mých rodičů pochází z Anglie.
stejně jako výrok
Můj otec nepochází z Belgie.
Méně zřejmý už je například tento případ: Mějme výroky
A: 1 + 1 = 3
B: Jsem nejlepší hokejista na světě
Z výroku A vyplývá výrok B. Nevěříte? Výrok A není empirický výrok, je za všech okolností nepravdivý, takže bez ohledu na to, jestli je B pravdivý nebo nepravdivý, výrok \(\left. A\rightarrow B \right.\) je za všech okolností pravdivý. Takže z A vyplývá B.
Pokud jsou dva empirické výroky ekvivalentní, znamená to, že za všech okolností jsou buďto oba pravdivé nebo oba nepravdivé, nikdy nemůže nastat situace, kdy by jeden platil a druhý neplatil. Máte-li určit, zda jsou dva výroky ekvivalentní, musíte si především dát pozor na to, zda opravdu musejí oba současně platit nebo oba neplatit za všech okolností.
Třeba výroky
Václav Klaus je český prezident
Václav Klaus je nejvyšší velitel české armády
Nejsou ekvivalentní – je sice pravda, že prezident je podle ústavy nejvyšší velitel armády, ale klidně by mohla nastat situace, že by ústava byla změněna a nejvyšším velitelem by byl třeba ministr obrany.
Ekvivalentní jsou kupříkladu tyto výroky:
Václav Klaus je český prezident
Václav Klaus byl zvolen českým prezidentem a jeho vláda dosud neskončila
Ekvivalentní jsou jedině ty výroky, o kterých můžeme říct, že „znamenají totéž“. Jakmile existuje nějaký rozdíl ve významu, můžeme najít stav světa, ve kterém jeden z výroků platí a druhý neplatí.
Proto také kdykoliv jsem v předchozím textu pro zjednodušení použil formulaci „výrok A znamená totéž co výrok B“, bylo by vlastně přesnější říci „výroky A a B jsou ekvivalentní“. (Ale věřím, že to bylo srozumitelné.)
Často se můžeme setkat s tvrzením, že nějaký výrok X vyplývá z více výroků, například ze tří – A, B a C. Je tím myšleno, že výrok X vyplývá ze všech tří výroků současně, tedy že ve všech situacích, v nichž platí výroky A, B i C, platí i výrok X.
Jinak řečeno, za všech okolností je výrok \(\left. \left( A \land B \land C \right)\rightarrow X \right.\) pravdivý.
Výrokům A, B a C (může jich být pochopitelně libovolný počet) se říká předpoklady nebo též premisy a výroku X se říká závěr.
Například z výroků
Každý žák 4. B bude vyznamenán
Můj bratr je žákem 4. B
vyplývá výrok
Můj bratr bude vyznamenán
Z výroků
Alespoň jeden z mých rodičů pochází z Anglie
Moje matka pochází z Ruska
vyplývá výrok
Můj otec pochází z Anglie
Znamená to právě tolik, že z výroku, který vznikne spojením všech předpokladů pomocí konjunkce, vyplývá závěr.
Ještě jednou opakuji, protože to je opravdu důležité: V případě, že A a B jsou empirické (nikoli analytické) výroky, tak tvrzení „z výroku A vyplývá výrok B“, znamená něco zcela jiného, než tvrzení „výrok \(\left. A\rightarrow B \right.\) je pravdivý“.
Například mějme empirické výroky:
A: Pavel je dnes nemocný
B: Pavel dnes nebyl ve škole
a chceme určit, zda je pravdivý výrok
Pokud je dnes Pavel nemocný, tak dnes nebyl ve škole
můžeme to provést jedině tak, že zjistíme, o kterém Pavlovi je řeč, seženeme si jeho lékařskou zprávu, vyptáme se jeho spolužáků – zkrátka empiricky určíme pravdivost výroků A a B a z toho pomocí tabulky pravdivostních hodnot pro implikaci určíme pravdivost výroku \(\left. A\rightarrow B \right.\).
Pokud však chceme místo toho zjistit, zda z výroku A vyplývá výrok B, musíme na to jít jinak. V takovém případě nás vůbec nezajímá, jak je to v současné situaci s pravdivostí výroků A a B, potřebujeme dokázat, že nemůže nastat situace, kdy A platí a B neplatí. Taková situace ale může nastat zcela snadno – když by Pavel byl nemocný, ale přesto šel do školy. Takže zřejmě z A nevyplývá B.
Kdybychom měli ještě výrok
C: Pavel nikdy do školy nemocný nechodí
pak můžeme prohlásit, že z výroků A a C vyplývá výrok B. Není totiž možné, aby platilo A i C a současně neplatilo B.
Otázka, zda nějaký empirický výrok vyplývá z daných premis či nikoliv, není nijak jednoduchá. Všechno, co jsme dosud v této knížce probírali, vedlo právě k tomu naučit se nalézt odpověď na tuto otázku.
Vyjádříme si tuto otázku přesněji: Jsou dány výroky A1, A2, …, An (premisy) a výrok X (závěr). Naším úkolem je určit, zda závěr vyplývá z premis. To znamená, že musíme rozhodnout, zda výrok \(\left. \left( A_{1} \land A_{2} \land \ldots \land A_{n} \right)\rightarrow X \right.\) je za všech okolností pravdivý.
Ukažme si teď nějaké postupy, které při řešení tohoto úkolu můžeme použít.
Postup 1 – přímé odvození
V mnoha příkladech můžete přímo odvodit, jaký závěr vyplývá z premis – závěrů ovšem může vyplývat celá řada. Když se vám podaří najít takový, který je uveden mezi nabízenými možnostmi (anebo je tam nějaký ekvivalentní), máte vyhráno.
Příklad 1
Jeden z uvedených závěrů vyplývá z těchto premis. Který to je?
- Všechny velryby jsou savci
- Některé velryby mají kostice
A) Každý, kdo má kostice, je velryba
B) Některé velryby nemají kostice
C) Někteří savci mají kostice
D) Všichni savci jsou velryby
E) Nikdo, kdo není velryba, nemá kostice
F) Všechny velryby mají kostice
V příkladech tohoto typu především v žádném případě nesmíte vycházet z toho, jak je tomu v reálném světě. Nesmíte předpokládat žádné informace, které nejsou přímo v zadání příkladu uvedeny (třeba to, že velryby jsou jediná zvířata s kosticemi nebo že vorvani kostice nemají, apod.) I když třeba víte něco o velrybách, zapomeňte na to, přistupujte k příkladu, jako by se mluvilo o nějakých zcela cizích tvorech, o nichž jste nikdy neslyšeli.
Máme tedy jenom ty informace, které jsou uvedeny v předpokladech. Výrok „Některé velryby mají kostice“ znamená, že mezi velrybami existuje přinejmenším jedna taková, která má kostice. Tu si můžeme nějak označit, třeba velryba V. Žádná jiná velryba už nemusí existovat, ale o velrybě V máme jistotu, že existuje. A protože platí: „Všechny velryby jsou savci“, musí i velryba V být savec. Vida, našli jsme savce! Jeden ze závěrů, který z premis můžeme odvodit, tedy zní:
„Existuje nějaký savec.“
To ovšem není všechno, co o velrybě V víme – víme, že je současně savec i velryba a má kostice.
Z toho můžeme odvodit i tyto závěry:
„Nějaký savec je velryba.“
„Nějaká velryba je savec.“
„Někdo, kdo má kostice, je savec.“
„Někdo, kdo má kostice, je velryba.“
„Nějaký savec má kostice.“
Můžete si všimnout, že poslední z těchto závěrů je ekvivalentní výroku C (množné číslo zde nehraje roli, výrok C prostě znamená, že najdete savce, který má kostice).
C je tedy tím závěrem, který vyplývá z uvedených premis.
Tímto způsobem jsme určili možnost, která je správná. Často je také užitečné umět o některé možnosti s jistotou určit, že správná není. K tomu slouží následující postup.
Postup 2 – protipříklad
Pokud chceme dokázat, že není pravda, že nějaké tvrzení za všech okolností platí (to jest určit s jistotou o některé z možností, že není správná), uděláme to tak, že najdeme nějakou situaci, ve které tvrzení neplatí. Máme-li tedy dokázat, že z výroků A a B nevyplývá výrok C, musíme najít situaci, kdy platí A i B, ale neplatí C.
Vraťme se k příkladu 1 a projděme si jednotlivé možnosti. Pro každou budeme hledat situaci, neboli stav světa, ve kterém platí premisy a neplatí daná možnost. Když se nám to podaří, máme jistotu, že tato možnost není správným závěrem. Abychom si práci co nejvíce zjednodušili, je vhodné vymýšlet co možná nejjednodušší situace.
První situace: Existují pouze dva tvorové: Velryba V, která má kostice a je savec, a savec S, který není velryba, ale má kostice. Pak jsou premisy splněny – skutečně všechny velryby (pouze V) jsou savci a některé velryby (opět pouze V) mají kostice. Ovšem možnost A neplatí – není pravda, že každý, kdo má kostice, je velryba – S má kostice a velryba to není. Výrok A tedy není správným závěrem.
V první situaci neplatí ani výrok B – není tu žádná velryba, která by byla bez kostic.
Dokonce tu neplatí ani výrok D – je tu savec S, který není velryba.
Výrok E rovněž v první situaci neplatí – když se nad ním zamyslíte, zjistíte, že říká totéž co výrok A. Existence savce S, který má kostice a není velryba, činí oba tyto výroky nepravdivými.
Nyní si vezměme druhou situaci: Opět existuje velryba V, která má kostice (jak už jsme si říkali, ta musí existovat vždycky, aby premisy platily). Kromě ní existuje ještě jedna velryba, kulohlavec K, která nemá kostice. V této situaci zřejmě neplatí výrok F – není pravda, že všechny velryby mají kostice, K je nemá a přitom je velryba.
O všech výrocích kromě C se nám podařilo dokázat, že nejsou závěrem vyplývajícím z premis. Pokud tedy má být jedna z možností správná, musí to být C.
Hledání protipříkladu je užitečná metoda, kterou oceníme zejména u příkladů, které jsou tak trochu chytáky – kde by se na první pohled mohlo zdát, že z premis něco vyplývá, ale ve skutečnosti tomu tak není. Vezměme si třeba tento příklad:
Příklad 2
Jeden z uvedených závěrů vyplývá z těchto premis. Který to je?
- Všichni knihomolové jsou učenci
- Někteří učenci jsou nafoukaní
A) Někteří nafoukaní lidé nejsou knihomolové
B) Někteří knihomolové nejsou nafoukaní
C) Všichni knihomolové jsou nafoukaní
D) Někteří učenci nejsou knihomolové
E) Nikdo, kdo není učenec, není knihomolem.
F) Všichni učenci jsou nafoukaní
G) Někteří knihomolové jsou nafoukaní
Možná vám připadá, že tento příklad je prakticky stejný jako ten předchozí, ale není tomu tak. Pokud byste tento příklad zkusili řešit přímým odvozením a nedávali si dostatečně pozor, nejspíš byste došli ke špatnému výsledku. Schválně si to zkuste.
Máte kandidáta? Tak si teď vyzkoušejme najít protipříklady.
První situace: Předpokládejme, že na zemi existuje pouze jediný knihomol K, který je zároveň jediný učenec a jediný nafoukaný člověk. Premisy jsou splněny – skutečně všichni knihomolové (pouze K) jsou učenci a někteří učenci (opět K) jsou nafoukaní.
Tvrzení A v této situaci neplatí – není tu žádný nafoukaný člověk, který by nebyl knihomolem. Ani tvrzení B neplatí – není tu žádný knihomol, který by nebyl nafoukaný.
Druhá situace: Na světě existují jediní dva knihomolové X a Y, kteří jsou zároveň jedinými učenci. Přitom X je nafoukaný a Y nikoliv. Premisy jsou splněny (všichni knihomolové jsou učenci a někteří z učenců, konkrétně X, jsou nafoukaní).
Tvrzení C v této situaci neplatí – není pravda, že všichni knihomolové jsou nafoukaní (kazí to Y). Ze stejného důvodu neplatí tvrzení F (opět to kazí Y, který je učenec a není nafoukaný).
Ani v jedné z předchozích situací neplatilo tvrzení D – nikdy tu nebyl žádný učenec, který by nebyl knihomolem, takže ani D nevyplývá z premis.
A nyní třetí situace – na zemi existují pouze dva učenci, P a Q. P je jediný knihomol na zemi a Q je jediný nafoukaný člověk na zemi. I v této situaci premisy platí – všichni knihomolové (pouze P) jsou učenci a někteří z učenců (Q) jsou nafoukaní.
Tvrzení G v této situaci neplatí, není tu totiž žádný nafoukaný knihomol. Takže ani G, přestože vás to možná překvapuje, nevyplývá z premis.
Zbývá nám tvrzení E, a protože v zadání se říká, že jedno z tvrzení vyplývá z premis, musí to být ono. Ve skutečnosti je tvrzení E ekvivalentní první z premis, takže z ní přímo vyplývá, a druhá premisa je tam jen do počtu. Tím se nesmíte nechat zmást.
Postup 3 – důkaz sporem
Chceme-li dokázat, že nějaké tvrzení za všech okolností platí, můžeme na to jít ještě jinak – pomocí techniky důkazu sporem. Předpokládáme, že existují okolnosti, kdy tvrzení neplatí, a dokážeme, že z tohoto předpokladu vyplývá logický rozpor (předpoklad tedy nemůže platit).
Máme-li dokázat, že z premis A a B vyplývá výrok X, budeme předpokládat, že platí současně výroky A, B a \(\neg X\) a dokážeme, že to není možné.
Zkusme si to nejprve na příkladu 1. Předpokládáme, že platí premisy:
- Všechny velryby jsou savci
- Některé velryby mají kostice
A nyní budeme uvažovat negace jednotlivých výroků A-F a budeme zkoumat, zda jsou v rozporu s premisami.
\(\neg A\) ) Existuje někdo, kdo má kostice a není velryba.
Toto tvrzení neporušuje premisy – existence tvora, který má kostice a není velryba, není v rozporu s tím, že všechny velryby jsou savci a některé z nich mají kostice. A tedy není hledaný závěr.
\(\neg B\)) Všechny velryby mají kostice.
To zase není v rozporu s premisami – může platit, že všechny velryby mají kostice, zároveň jsou všechny savci a některé mají kostice.
\(\neg C\)) Žádný savec nemá kostice.
To je v rozporu s premisami – není možné, aby žádný savec neměl kostice, když jsou tu nějaké velryby s kosticemi a přitom všechny velryby (tedy i ty s kosticemi) jsou savci.
\(\neg D\)) Existuje savec, který není velryba.
To, jak víme, není v rozporu s premisami – takový savec je třeba pes a jeho existence nijak neporušuje pravidlo, že všechny velryby jsou savci a některé z nich mají kostice.
\(\neg E\)) Existuje někdo, kdo není velryba a má kostice.
To je totéž jako \(\neg A\).
\(\neg F\)) Existuje velryba, která nemá kostice.
To opět není ve sporu s premisami – klidně může existovat velryba bez kostic a premisy platit, když jsou tu jiné velryby s kosticemi a všechny bez rozdílu jsou savci.
Podobným způsobem bychom postupovali u příkladu 2, určili bychom postupně negace jednotlivých tvrzení:
\(\neg A\)) Všichni nafoukaní lidé jsou knihomolové
\(\neg B\)) Všichni knihomolové jsou nafoukaní
\(\neg C\)) Někteří knihomolové nejsou nafoukaní
\(\neg D\)) Všichni učenci jsou knihomolové
\(\neg E\)) Někdo, kdo není učenec, je knihomolem.
\(\neg F\)) Někteří učenci nejsou nafoukaní
\(\neg G\)) Žádní knihomolové nejsou nafoukaní
a určovali bychom, které z nich nemůže platit současně s premisami:
- Všichni knihomolové jsou učenci
- Někteří učenci jsou nafoukaní
Jak opět vidíme, \(\neg E\) je v přímém rozporu s první z premis, E je tedy hledaný závěr.
Postup 4 – množiny
Občas je užitečné představit si namísto tvrzení, že nějaký objekt má nějakou vlastnost, tvrzení, že objekt patří do určité množiny. Výroky takového typu potom často vyjadřují různé množinové inkluze (tedy to, že některá množina je podmnožinou jiné).
Vraťme se k příkladu 1. Označme si množinu velryb písmenem V, množinu savců S a množinu tvorů s kosticemi K. Jednotlivé výroky potom můžeme pomocí množin přeformulovat takto:
- Všechny velryby jsou savci = V je podmnožinou S
- Některé velryby mají kostice = V má některé společné prvky s K (neboli průnik V a K je neprázdný)
A) Každý, kdo má kostice, je velryba = K je podmnožinou V
B) Některé velryby nemají kostice = některé prvky V nejsou prvky K (tj. rozdíl V–K je neprázdný)
C) Někteří savci mají kostice = S má některé společné prvky s K
D) Všichni savci jsou velryby = S je podmnožinou V
E) Nikdo, kdo není velryba, nemá kostice = doplněk V je podmnožinou doplňku K, čili K je podmnožinou V
F) Pokud má savec kostice, je to velryba = průnik S a K je podmnožinou V
Z premis vyplývá, že průnik množin V a K je neprázdný a že celý je podmnožinou množiny S (protože i V je její podmnožinou). Proto i průnik K a S je neprázdný, což přesně říká tvrzení C.
Zkusme si totéž na příkladu 2. Premisy vyjádříme takto:
- množina knihomolů je podmnožinou množiny učenců
- množina učenců má nějaké společné prvky s množinou nafoukaných lidí
Jednotlivá tvrzení převedená do řeči množin zní:
A) množina nafoukaných lidí obsahuje některé prvky, které nejsou v množině knihomolů
B) množina knihomolů obsahuje některé prvky, které nejsou v množině nafoukaných lidí
C) množina knihomolů je podmnožinou množiny nafoukaných lidí
D) množina učenců obsahuje prvky, které nejsou v množině knihomolů
E) žádný prvek, který není v množině učenců, není ani v množině knihomolů
F) množina učenců je podmnožinou množiny nafoukaných lidí
G) množina knihomolů obsahuje některé společné prvky s množinou nafoukaných lidí
Tímto způsobem si přinejmenším lépe uvědomíte, co přesně které tvrzení znamená.
Když se zamyslíte nad tvrzením E, zjistíte, že vlastně znamená přesně totéž co první z premis – množina knihomolů je podmnožinou množiny učenců.
Tím jsme dokončili problematiku vyplývání empirických výroků a naše malá exkurze do výrokové logiky je u konce. Zbývá nám už jen dořešit, jak dopadne náš neohrožený hrdina Alfréd Pěnička. Já se s vámi loučím a doufám, že vám úsilí nutné k tomu prokousat se tímto textem nepřipadlo tak docela marné.
Příklady k procvičení
7.1 Vyberte správný závěr vyplývající z těchto premis:
- Všichni vodníci jsou zelení
- Bonifác je vodník
A) Bonifác umí plavat
B) Bonifác není vodník
C) Žádný vodník není zelený
D) Bonifác je zelený
E) Bonifác není zelený
F) Země je kulatá
7.2 Které z následujících závěrů vyplývají z těchto premis?
- Žádný kuchař není závodníkem
- Někteří závodníci neumí malovat
A) Žádný kuchař neumí malovat
B) Někteří závodníci umí malovat
C) Někteří kuchaři neumí malovat
D) Žádný závodník není kuchař
E) Nikdo, kdo umí malovat, není kuchařem
F) Někdo, kdo neumí malovat, je závodníkem
Čtvrté a závěrečné intermezzo: Před svítáním
Setkání s upíry v Baglapondu skončilo pro Alfréda s Leopoldem úspěchem, podařilo se jim odhalit a zlikvidovat všechny upíry ve městě. Jediným kazem na jejich vítězství bylo to, že jednomu z upírů, muži jménem Karmul, se podařilo uniknout a unesl s sebou i dceru místního farmáře Amildu, kterou bude chtít zřejmě změnit v upírku. Jednoduché pátrání prozradilo, že zamířil do sousedního Carville, města v horách, a jelikož Alfréd byl jednak kavalír a jednak toužil ještě více prohloubit své znalosti o logických aspektech upírství mezi Jasany a Mámy, ihned se rozhodl vyrazit unesené dívce na pomoc.
V Carville ovšem byla situace komplikovanější, neplatilo tam žádné omezení na přesvědčení obyvatel, žili tam Jasani i Mámové a mnozí z nich zřejmě byli upíři. A zatímco Jasan-člověk vždy mluví pravdu a Jasan-upír vždy lže, u Mámů je tomu naopak – Mám-člověk vždy lže a Mám-upír vždy mluví pravdu. Bude tedy třeba zvolit obzvláště uvážlivý postup.
Jelikož v Carville se údajně stranili cizinců ještě mnohem více než v Baglapondu, rozhodl se Alfréd proniknout do města tentokrát v převleku. Vypůjčili si od Amildina otce místní oděv a své věci ukryli do cestovních vaků, jaké by jistě nevzbudily u zdejších pocestných žádné podezření.
Následujícího rána ještě před rozbřeskem již vystupovali z povozu nedaleko Carville, za další zatáčkou začínaly první domky. Kočí jim popřál hodně štěstí a rychle obrátil koně, neboť tohle nebylo místo, kde by se někdo chtěl zbytečně zdržovat.
Že obavy byly na místě, se potvrdilo vzápětí. Za zatáčkou zastavila cestovatele dvojice osob, od pohledu nedůvěryhodných, a podezřele si je měřila.
„Zdá se, že nám přichází snídaně,“ pravil jeden z nich a odhalil špičáky.
(Úkol IV.1: Jak by mohl Alfréd nejvýše dvěma větami přesvědčit ty dva, že on a Leopold jsou také upíři?)
„Dobrá, bratři,“ pravil první z upírů, jenž byl zřejmě Mámem. „Vítejte v Carville, ale chovejte se umírněně, chceme aby nám tu pár lidí zbylo,“ zazubil se.
„Máme se tu setkat s přítelem,“ vyzvídal ještě Alfréd, „jmenuje se Karmul, přijel nedávno. Nevíte, kde bychom ho mohli najít?“
„Pokud nelžu, ubytoval se někde v západní čtvrti,“ řekl druhý z upírů. O něm dosud Alfréd nevěděl, zda je Jasan, nebo Mám, ale nechtěl se dál vyptávat, už takhle vzbudili víc pozornosti, než bylo zdrávo. Rozloučili se tedy a pokračovali do města.
(Úkol IV.2: Najdou Karmula skutečně v západní čtvrti?)
Město působilo vyčerpaně, téměř jako v agónii. Lidí bylo vidět málo a když, chodili rychle a obezřetně se rozhlíželi. Nikdo zřejmě pořádně nevěděl, jestli jeho soused už není upírem, a pokud to někdo věděl, stejně o tom nedokázal přesvědčit ostatní.
Alfréd s Leopoldem procházeli ulicemi a snažili se najít někoho, kdo by jim poradil, kde najdou Karmula, nikdo se však s nimi nechtěl bavit. Nakonec se rozhodli navštívit hospodu.
Uvnitř bylo pusto, jen u jednoho stolu seděla trojice lidí – dva muži a jedna žena. Byli zabráni do hovoru, takže příchod dalších hostů ani nezaregistrovali.
„Moje sestra není upír,“ říkal zrovna mladší z mužů.
„Jenže tohle není tvoje sestra,“ namítl ten starší.
„Pokud já jsem upír,“ pravila žena k tomu staršímu, „tak ty jsi Jasan.“
„To není pravda,“ ohradil se starší muž. „Právě jeden z nás tří je upír a já jsem člověk.“
„Pokud já jsem upír, tak jsem Jasan,“ řekl mladší z mužů. „Ty nejsi Jasan,“ dodal ke staršímu.
(Úkol IV.3: Kdo byl kdo?)
Alfréd přistoupil k jejich stolu a trojice zmlkla.
„Možná bych mohl vyřešit váš problém,“ pravil s úsměvem.
Hosté se nepřestali tvářit nedůvěřivě.
„Podívejte,“ začal Alfréd a přitáhl si židli, „já vím, že jste všichni tři lidé a mohu vás ubezpečit, že jsem také člověk.“
„Odpusťte, ale dneska člověk nemůže věřit nikomu,“ pravil mladší muž.
„Mohou přijít i horší časy,“ podotkl starší muž.
„Hádám, že tu ještě zbylo hodně lidí,“ začal Alfréd. „To se nedokážete s upíry vypořádat?“
„Těžko, když je nepoznáme,“ povzdechla si žena. „Vy byste vrazil sousedovi kůl do srdce, když byste nevěděl s jistotou, zda je to upír, či ne?“
„Zkoušeli jsme vytvářet skupiny, které měly s upíry bojovat, ale vždycky to selhalo,“ přidal se mladší muž. „Nedokázaly se dohodnout a pokaždé se do nich vetřel nějaký upír, který dal vědět svým kamarádům, kdy a kde si na ně mohou počíhat.“
„To se dá vyřešit,“ namítl Alfréd. „Existuje jednoduchý způsob, jak o někom zjistit, zda je upír či ne. Dá se to zjistit jednou otázkou, na kterou je odpověď ano nebo ne, aby se nemohl vykrucovat. A stejně tak se dá jednou otázkou zjistit, jestli je Jasan, nebo Mám. Existuje dokonce způsob, jak to zjistit obojí najednou – jedinou otázkou, na kterou je odpověď ano nebo ne, můžete zjistit, zda je to člověk, a pokud ano, zda je to Jasan.“
(Úkol IV.4: Jak zní tyto otázky?)
U stolu se zrovna objevil hostinský, tak to na něm mohli hned vyzkoušet. Ukázalo se, že i on je člověk, a tak jej seznámili se svým plánem. Nejprve bylo třeba najít dostatečně opevněné místo, kam by se mohli uchýlit a které by ubránili náporu upírů. Potom je třeba shromáždit co nejvíce lidí z města, ale přijímat je po jednom a každého pečlivě prověřit.
Až jich bude dostatečný počet, vytvoří skupinu pod velením Alfréda Pěničky, která projde jeden dům po druhém a všechny upíry zlikviduje.
„Odvážný plán,“ poznamenal hostinský, „ale jak je chcete zabít, když jsou nemrtví?“
„Leopolde,“ obrátil se Alfréd na svého komorníka, „naše zavazadla.“
Odhalil svým novým společníkům obsah cestovních vaků, které obsahovaly takové množství špičatých kůlů, česneku, svěcené vody a krucifixů, že by to stačilo na vyhubení celé Transylvánie.
„Nikdy necestuji příliš nalehko,“ dodal na vysvětlenou.
Jako hlavní stan byl zvolen Carvillský kostel – sice to bylo nebezpečně blízko hřbitova, ale byla to přece jen posvátná půda a největší kamenná stavba ve městě. Uvnitř se schovávali nějaký muž se ženou a na otázku, co jsou zač, odpověděli:
Muž: „Já jsem upír. Ona je člověk.“
Žena: „On je Jasan. Já nejsem upír.“
Alfréd se ani neobtěžovat používat na ně připravené otázky, protože z toho, co řekli, snadno odvodil, kdo z nich je kým.
(Úkol IV.5: Co byli zač?)
Skupina statečných se zabarikádovala v kostele. Na bránu přitloukli řetěz, aby se dala jen mírně pootevřít, ne víc než pro jednoho člověka. Leopold zatím vylezl na zvonici a začal vyzvánět na zvony. Netrvalo dlouho a zájemci o azyl se začali hrnout, ale nikdo nebyl vpuštěn, dokud neodpověděl na otázky. Hned první dva byli upíři.
Šlo to dobře, upíři asi byli po lenivém životu zpohodlnělí a vůbec nečekali ozbrojený odpor. Alfréd se tedy rozhodl nechat záchranu města na místních lidech a splnit svůj slib – musel najít Karmula a zachránit Amildu z jeho spárů, pokud již není pozdě. Jeden ze zachráněných věděl, do kterého domu se Karmul ukryl, Alfréd s Leopoldem se tedy vydali tam.
Dům byl pobořený a zřejmě dávno opuštěný, rozbitými okny vehnal vítr dovnitř chomáče suchého listí. Uprostřed prázdného pokoje ležela rakev.
Alfréd si připravil kolík a pokynul Leopoldovi, aby odvalil víko. Muž ležící v rakvi otevřel oči a vrhl na ně rozespalý pohled.
„Jste Karmul?“ zeptal se Alfréd věcně, kolík u jeho srdce.
„Ne,“ odpověděl upír.
„Výborně,“ opáčil Alfréd. Věděl, že když Karmul přišel z Baglapondu, bude to Jasan. „Kde je Amilda?“
„Najdete ji, právě když mě zabijete,“ zavrčel upír.
Alfréd poodtáhl kůl, ale dál jej držel v pohotovosti.
„Nejste v postavení, abyste mohl klást podmínky.“
„Víte, že jsem schopen mluvit pravdu,“ říkal upír a zvolna se posadil. „Mohu vás oklamat.“
„To je lež,“ připustil Alfréd.
Leopold se pomalu začal v konverzaci ztrácet, ale to mu nevadilo, hlavně sledoval upírovy pohyby.
„Nenabízím vám dohodu. Její život za můj.“
„Pokud mi umožníte ji zachránit, dám vám hodinu náskok, souhlasíte?“
„Nesouhlasím,“ přitakal Karmul. „Neposkytnu vám informaci k její záchraně.“
Alfréd schoval kůl – po tomto závazku si již Karmul nemohl dovolit podraz.
„Poslouchejte tedy,“ pravil upír. „Támhle za těmi dveřmi nenajdete vchod do sklepa. Ve sklepě nejsou tři rakve. Není pravda, že v jedné z nich leží Amilda. Otevřením nesprávné rakve se nespustí smrtící mechanismus nebo sklep nebude zavalen. Z nápisů na rakvích nelze odvodit, kde Amilda je. Všechny tyto nápisy jsem nepsal já. Není pravda, že Amilda je dosud člověk.“
„Své slovo plním. Máte hodinu,“ řekl Alfréd Pěnička.
„Hodně štěstí,“ ušklíbl se upír, proměnil se v netopýra a odletěl oknem.
Alfréd s Leopoldem sestoupili do sklepení. Skutečně zde našli trojici rakví a na každé byly tři nápisy psané krví. Když si však Alfréd nápisy přečetl, zvolal rozhořčeně: „Ani upírům, kteří vždy lžou, se nedá věřit!“
„Co se děje?“ tázal se komorník.
Alfréd chvíli zamyšleně přecházel sem a tam.
„No jistě,“ pravil pak, „Karmul řekl: 'Všechny nápisy jsem nepsal já.' Myslel jsem, že budou všechny nepravdivé, takže řešení bude hračka, jenže správná negace takové věty zní: 'Aspoň jeden jsem psal já.' O ostatních víme jen to, že je mohli psát lidé nebo upíři, Jasani nebo Mámové.“
„Ale říkal přece,“ namítl Leopold, „že odpověď se z těch nápisů nedá odvodit.“
„Máte pravdu, musí to tedy nějak jít. Posviťte mi.“
Leopold naklonil lucernu a Alfréd si znovu a podrobněji prohlédl nápisy na rakvích.
První rakev:
Zde leží upír nebo Jasan
Všechny nápisy na třetí rakvi psal ten, kdo leží ve druhé rakvi
Právě jedna rakev je prázdná
Druhá rakev:
Pokud je v této rakvi upír, pak aspoň jeden z nápisů na ní je nepravdivý
Na žádné rakvi nenapsal všechny nápisy upír-Mám
Aspoň jeden nápis na této rakvi je nepravdivý
Třetí rakev:
Zde leží člověk-Mám nebo ve druhé rakvi leží upír-Mám
Všechny nápisy na této rakvi psal člověk
Některý z nápisů na první rakvi psala Amilda
„Víme, že v jedné rakvi leží Amilda a že je dosud člověk-Jasan,“ shrnul Alfréd, „a také to, že alespoň jeden z nápisů psal upír-Jasan.“
(Úkol IV.6: Kde leží Amilda?)
Alfrédovi se podařilo určit správnou rakev a spolu s Leopoldem vypáčili víko a našli vystrašenou dívku. Vzápětí se ozvalo zapraskání a celý strop sklepení se na ně začal řítit, taktak stačili dosáhnout východu, než byl sklep zavalen kamením a hlínou.
„Takže Karmul mluvil pravdu o tom mechanismu,“ podivil se Leopold, když se šťastně dostali ven z domu.
„Nikoliv,“ namítl Alfréd, „říkal jen to, co se nestane, když otevřeme nesprávnou rakev, a to zcela správně nebyla pravda.“
„Co prosím?“ nechápala Amilda a koukala z jednoho na druhého.
„To nic,“ mávl rukou Alfréd. „Raději půjdeme, čeká na nás váš otec, slečno.“
„A Karmul?“ otázal se ještě Leopold.
„Zbývá mu ještě třicet osm minut,“ odvětil Alfréd. „Pak se pustíme po jeho stopě. Viděl jste snad někdy, příteli, že by mi nějaký zločinec unikl?“
A Leopold musel uznat, že ne.
Řešení příkladů k procvičení
Do této části nahlédněte až poté, co jste si příklady důkladně přečetli, zamysleli se nad nimi a vybrali svého kandidáta na řešení. Ne že by hrozilo, že vás někdo bude kontrolovat, ale jinak to nemá cenu…
1.1
„Co si o tom myslet?“ je otázka, „Myslete na budoucnost“ je rozkaz, a to nejsou výroky.
1.2
„Jedna a jedna je lokomotiva“ je výrok, i když ne zrovna duchaplný. „Tato věta není výrokem“ je rovněž výrok, pochopitelně nepravdivý. „12 + 15 – 6“ není výrok, nic neoznamuje.
2.1
Negací výroku „Po cestě jela dvě auta“ není „Po cestě nejelo nic“ ani „Po cestě jel motocykl“ ani „Po cestě jel nějaký počet aut, různý od dvou“ ani „Po cestě jela tři auta“ – v situaci, kdy jelo po cestě koňské spřežení, jsou všechny tyto výroky nepravdivé. Jediná správná negace, byť možná trochu složitě formulovaná, je „Ať už jelo po cestě cokoliv, nejela tam dvě auta“.
2.2
Použijeme-li na výrok „Všechno je pod kontrolou“ princip záměny kvantifikátorů, dostaneme negaci „Existuje něco, co není pod kontrolou“, jednodušeji „Něco není pod kontrolou“.
2.3
Výrok „Kdo si zpívá, nemračí se“ můžeme přeformulovat jako „pro každého, kdo si zpívá, platí, že se nemračí“. Použijeme-li na tento výrok princip záměny kvantifikátorů, dostaneme negaci „Existuje někdo, kdo si zpívá, pro nějž platí, že se mračí“, jednodušeji „Někdo si zpívá a také se mračí“.
2.4
Výrok „Všichni lidé jsou bratři“ přeformulujeme na „Pro všechny, kdo jsou lidé, platí, že jsou bratři“. Použijeme-li na tento výrok princip záměny kvantifikátorů, dostaneme negaci „Existuje někdo, kdo je člověk, pro nějž platí, že není bratr“, jednodušeji „Nějaký člověk není bratr“.
2.5
Výrok „Kdo neskáče, není Čech“ přeformulujeme na „Pro všechny, kdo neskáčou, platí, že nejsou Čechy“. Použijeme princip záměny kvantifikátorů a dostaneme „Existuje někdo, kdo neskáče, pro něhož platí, že je Čech“. Jednodušeji „Někdo neskáče a je Čech“ případně „Nějaký Čech neskáče“.
3.1
A a B si odporují, takže jeden z nich musí být Jasan a druhý Mám – což je přesně to, co tvrdí A. A je tedy Jasan a B Mám.
3.2
Kdyby A byl Mám, jeho tvrzení by bylo pravdivé, což nelze. Musí to být tedy Jasan a to, co řekl, je pravda, oba tedy nejsou Jasani, takže B musí být Mám.
3.3
Je zřejmé, že B musí být Mám – Jasan něco takového říct nemůže. Jednoho Máma tu tedy máme, proto to, co řekl A, není pravda, takže i A je Mám. C ovšem musí být Jasan, jinak by výrok B byl pravdivý, a to nelze, protože B je Mám.
4.1
Podle principu záměny konjunkce a disjunkce je správnou negací výrok: „Zítra nebude pršet a nebude ani hezky.“
4.2
Podle principu záměny konjunkce a disjunkce je správnou negací výrok: „Nemám všechno pojištěno nebo to tak není správné“ případně „Něco mám nepojištěno nebo to tak není správné“.
4.3
Kdyby byl A Mám, první část disjunkce by byla pravdivá a tím i celý výrok, což je spor. Musí to být tedy Jasan a disjunkce musí být pravdivá. První část je nepravdivá, pravdivá tedy musí být druhá část, proto B je také Jasan.
4.4
Z toho, co řekl B, vyplývá, že jsou oba Jasani nebo oba Mámové. Oba Jasani být nemohou, výrok A by pak byl nepravdivý, oba jsou tedy Mámové.
4.5
Zde je to podobné, B opět souhlasí s A, opět jsou tedy oba Jasani nebo oba Mámové. Nemohou být ovšem oba Mámové, protože výrok A by pak byl pravdivý, oba jsou tedy Jasani.
5.1
Negace zní: „Dnes bude hezky a zítra nebude pršet.“
5.2
Výrok je nepravdivý pouze pro Číňana Wena, pro všechny ostatní je pravdivý.
5.3
Jeho výrok mohl být nepravdivý v jediném případě – bylo úterý a přitom v Belgii nebyli.
5.4
Předpokládejme, že A je Mám. Pak jeho výrok je nepravdivý, tedy první část implikace je pravdivá a druhá nepravdivá. Takže i B je Mám a první část jeho výroku musí být pravdivá, výrok A by proto musel být pravdivý, a to je spor. A tedy musí být Jasan.
Pokud by B byl Mám, pak druhá část jeho výroku by musela být nepravdivá, takže zítra nebude sobota, tedy není pátek. Ale to je spor s tím, co říká A, B je totiž Mám, takže podle jeho tvrzení musí být pátek. Opět dostáváme spor, B tedy musí být také Jasan. První část jeho výroku je pravdivá (víme, že A je Jasan), takže i druhá část musí být pravdivá a zítra opravdu bude sobota, je tedy pátek.
5.5
Nejprve dokážeme, že i v tomto případě jsou oba mluvčí Jasani. Kdyby totiž některý z nich byl Mám, tak by první části obou jeho výroků musely být pravdivé (což by v případě A znamenalo, že je sobota i neděle, a v případě B, že je pondělí nebo úterý a zároveň středa nebo čtvrtek, a to není možné). Oba jsou tedy Jasani.
Pokud by byla sobota, tak podle prvního výroku A by zítra muselo být pondělí, což nelze. Pokud by bylo pondělí nebo úterý, tak podle prvního výroku B by včera musel být čtvrtek, a to zase nejde. Stejně tak podle dalších výroků vyloučíme neděli, středu a čtvrtek. Je tedy pátek (to je jediný den, který nám zbyl).
6.1
Správná negace je pochopitelně: „Zítra bude pršet a dnes nebude hezky, nebo zítra nebude pršet a dnes bude hezky.“
6.2
To, co tvrdí B, je rozhodně lež, ať už by A říkal cokoliv. Skutečně, výrok libovolného Jasana či Máma nemůže být ekvivalentní tomu, že je to Mám (buďto je to skutečně Mám a jeho výrok je proto lež, nebo je to Jasan a jeho výrok je pravdivý – v každém případě ekvivalence neplatí). B je tedy Mám, takže ani to, co říkal včera, nemohla být pravda, proto to, co tvrdí A, je lež. A je tedy rovněž Mám. O tom, zda B vyhrál v loterii, nevíme nic (mohl to tvrdit a lhát, nebo o tom nemluvit vůbec).
6.3
Předpokládejme, že B je Jasan. A se tedy jmenuje Albino a jeho druhý výrok je proto nepravdivý (první část ekvivalence je nepravdivá a druhá pravdivá). A je tedy Mám. Z jeho prvního výroku potom vyplývá, že B se jmenuje Bedřich (první část ekvivalence je nepravdivá, druhá tedy musí být pravdivá, aby celý výrok byl nepravdivý). Podle prvního výroku B by se potom měl A jmenovat Alexandr, a to je spor.
B tedy musí být Mám a A se jistě nejmenuje Albino. Nyní předpokládejme, že A je rovněž Mám. Potom se musí jmenovat Alexandr (aby jeho druhý výrok byl nepravdivý), B tím pádem není Bedřich (jinak by jeho první výrok byl pravdivý) a A se podle svého prvního výroku musí jmenovat Albert. To je spor s tím, že se jmenuje Alexandr. Takže A nemůže být Mám, musí to být Jasan, nejmenuje se Alexandr (jinak by jeho druhý výrok byl nepravdivý – víme už, že B je Mám). B se podle svého prvního výroku jmenuje Bedřich a A, podle svého prvního výroku, se jmenuje Albert. A je tedy Albert a Jasan, B je Bedřich a Mám.
6.4
Označme si výrok „Pavel je z Prahy“ písmenem A a výrok „Miloš nebo Václav není z Brna“ písmenem B. \(\neg A\) potom zní: „Pavel není z Prahy“ a \(\neg B\) zní: „Miloš i Václav jsou z Brna“. Uvedené výroky pak můžeme psát:
\(\left. A\rightarrow B \right.\)
\(\left. A\rightarrow\neg\neg B \right.\)
\(\left. \neg B\rightarrow\neg A \right.\)
\(B \vee \neg A\)
\(\left. B\rightarrow A \right.\)
První čtyři výroky jsou vzájemně ekvivalentní, ten poslední však ne.
7.1
Všichni vodníci jsou zelení a Bonifác patří mezi vodníky, takže i Bonifác musí být zelený. Správně je tedy možnost D. Možnost A z premis nevyplývá (vyplývá možná z toho, co víme o vodnících, ale na to se nás nikdo neptal), premisy o plavání vodníků vůbec nic neříkaly. Možnost B je v přímém rozporu s druhou z premis. Možnost C zase odporuje první z premis, o vyplývání tedy nemůže být řeč. Možnost E je také nesprávná, jak už víme – z premis vyplývá pravý opak. Ani možnost F nevyplývá z premis – v tomto stavu světa je pravdivá, ale v jiném stavu světa, kdybychom žili třeba na placce, by pravdivá nebyla, a rozhodně to nijak nevyplývá z tvrzení o vodnících.
7.2
Zkusíme si například techniku důkazu sporem. Budeme pro každý z možných závěrů předpokládat, že neplatí a současně že platí obě premisy – a z tohoto předpokladu budeme chtít dojít ke sporu. Pokud se to podaří, je jasné, že závěr vyplývá z premis.
Negace A zní: „Některý kuchař umí malovat.“ To není ve sporu s premisami – neporušuje to ani předpoklad, že žádný kuchař není závodníkem, ani to, že někteří závodníci neumí malovat.
Negace B zní: „Žádný závodník neumí malovat.“ To opět není spor – když žádní závodníci neumí malovat, tak i někteří závodníci neumí malovat. Pravidlo o kuchařích to také neporušuje.
Negace C zní: „Všichni kuchaři umí malovat.“ To zase není spor – každý kuchař umí malovat, ale žádný z nich není závodníkem, takže to neporušuje předpoklad, že žádný závodník malovat neumí.
Negace D zní: „Nějaký závodník je kuchař.“ A to je spor s první premisou, že žádný kuchař není závodník.
Negace E zní: „Nějaký kuchař umí malovat.“ To není spor.
Negace F zní: „Nikdo, kdo neumí malovat, není závodníkem,“ jinak řečeno: „Každý závodník umí malovat.“ A to je spor s druhou premisou.
Z uvedených předpokladů tedy vyplývají závěry D a F.
Řešení úkolů v intermezzech
I.1
Odpověď lze jednoznačně určit. Muž a žena si odporují, jeden je tedy Jasan a druhý Mám. Pokud je žena Jasanka, vyplývá z její řeči, že starosta je v hospodě a že hospoda je dům se zeleným plotem. Pokud je žena Mámka, vyplývá z její řeči, že starosta je doma (ona tvrdí, že není). Muž, který je v tomto případě Jasan, říká, že starostův dům je ten se zeleným plotem. V každém případě tedy právě tam je třeba starostu hledat.
I.2
V případě muže a ženy není vlkodlak ani jeden z nich. Když žena říká „Oba jsme Mámové“, není možné, aby byla Jasanka, musí být tedy Mámka a její muž Jasan (jinak by říkala pravdu). Ona tedy vlkodlak není (tvrdí že je) a on taky ne (tvrdí že není).
V případě jejich synů je to již obtížnější. V prvé řadě dokážeme, že Kiko nemůže být Jasan. Kdyby byl, pak by byli Jasany i Miko a Riko a Riko by byl vlkodlak. Podle toho, co říká Riko, by musel být i Kiko vlkodlak. Jenomže to je spor s tím, co říká Miko, že vlkodlak je jen jeden. Kiko tedy musí být Mám, Riko tím pádem vlkodlak není a Miko s Rikem nejsou oba Jasani.
Nyní dokažme, že ani Riko není Jasan. Předpokládejme, že je. Potom je pravda, co tvrdí, že Miko je na tom s lhaním stejně, tedy je taky Jasan, ale my jsme už dokázali, že oba být Jasany nemohou (to přesně tvrdí Kiko, který je Mám).
Riko je tedy Mám a není pravda, co tvrdí. Takže Kiko na tom není s vlkodlačstvím stejně jako on, a víme už, že Riko vlkodlakem není, takže Kiko jím je. Dále Miko na tom není stejně s lhaním, proto musí být Jasan, vlkodlakem je tedy jen jeden, Kiko.
I.3
Žena tvrdí: „Můj muž je Jasan,“ z toho vyplývá, že buďto musejí být oba Jasani, nebo oba Mámové. Oba Jasani být nemohou, protože si odporují (v počtu Jasanů i v počtu vlkodlaků). Tedy jsou oba Mámové, žena je vlkodlak (říká, že není, a lže), muž není vlkodlak (tvrdí, že oba jsou, a lže).
Podobně Bobo říká, že Tony je Jasan, opět musejí být oba Jasani nebo oba Mámové. Kdyby byli oba Jasani, tak jsou i oba vlkodlaci (což tvrdí Bobo), ale to odporuje tomu, co tvrdí Tony, že každý vlkodlak je Mámem. To je spor.
Oba tedy musejí být Mámové a jejich tvrzení jsou nepravdivá. Negace Tonyho věty zní: „Mezi námi třemi existuje vlkodlak, který je Jasanem.“ Tím může být jedině Jika. Její tvrzení je pravdivé, nikdo z chlapců tedy vlkodlak není, jen ona.
I.4
Leda rozhodně musí být Mámka, je totiž žena a tvrdí, že všechny ženy mezi nimi jsou Mámky, to Jasanka říct nemůže. Její tvrzení je tedy nepravdivé, všechny ženy nejsou Mámky a jediná další žena je tu Peda, musí být tedy Jasanka. To, co říká, je pravda, proto žádný Mám není vlkodlak. Leda je Mámka, takže vlkodlakem není.
Nyní předpokládejme, že Mon je Mám. Pak není pravda, že Peda je vlkodlak, a není ani pravda, že on je na tom stejně, tedy musí být vlkodlak. My však už víme, že žádný Mám vlkodlak není, takže dostáváme spor.
Dokázali jsme, že Mon je Jasan. Peda je tedy vlkodlak a on je na tom stejně, je také vlkodlak.
Dále platí, že Ron nemůže být Mám – kdyby byl, pak jedinými Jasany zde jsou Peda a Mon a ti jsou oba vlkodlaci, tudíž to, co řekl Ron, by byla pravda. Ron je tedy Jasan a také vlkodlak, jelikož popravdě přiznává, že všichni Jasani mezi nimi jsou vlkodlaci. Jediná, kdo není vlkodlak, je Leda.
I.5
Jsou čtyři možnosti, kým obyvatel Aglungly může být: Jasan-vlkodlak, Jasan nevlkodlak, Mám-vlkodlak, Mám-nevlkodlak. Pokud by Ako byl Jasan, Bela by musela Jasan-vlkodlak a Ako by musel být Mám-vlkodlak. To je spor.
Ako je tedy Mám, tím pádem není vlkodlak (tvrdí to o sobě a lže). Není tedy Mám-vlkodlak, jak tvrdí jeho žena, takže ona je také Mámka. A protože říká, že vlkodlak není, ve skutečnosti jím je.
U trojčat je situace složitější. Vidíme, že první a druhá si odporují, když mluví o Xandě, jedna je tedy Jasanka a druhá Mámka.
Kdyby třetí byla Jasanka, pak by Yanda i Zanda musely být Mámky – jenomže Mámku tu máme jen jednu (třetí je Jasanka a jedna z dvojíce první, druhá také). To je spor, takže třetí musí být Mámka a je vlkodlak (tvrdí, že není).
Nyní předpokládejme, že druhá je Jasanka. Je tedy pravda, co říká, že Xanda je Jasanka a Zanda není vlkodlak. Ani jedno z toho se nehodí na třetí dívku, která je Mámka a vlkodlak, takže to musí být Yanda. Jenomže potom první dívka popravdě tvrdí, že Yanda je vlkodlak, první a druhá by tedy musely být obě Jasanky a my už jsme dokázali, že jedna je Jasanka a druhá Mámka
Předpoklad, že druhá z dívek je Jasanka, vedl ke sporu, druhá tedy musí být Mámka a první Jasanka.
Pak Yanda je vlkodlak (jak popravdě tvrdí první) a Zanda je rovněž vlkodlak (druhá říká, že není, a lže). Druhá také říká, že ona je vlkodlak, ve skutečnosti tedy není. Jediný, kdo může nebýt vlkodlakem, je Xanda, druhá z dívek je tedy Xanda a není vlkodlak, zbylé dvě jsou Yanda a Zanda a obě jsou vlkodlaky.
I.6
Pokud by druhý z mužů byl Jasan, první je také Jasan a hlavní vlkodlak je Mám, tedy není to žádný z nich. Pokud by druhý byl Mám, tak první je také Mám a hlavní vlkodlak je Jasan, opět to tedy není žádný.
I.7
Předpokládejme, že první je Jasan. Pak je to vlkodlak a ještě alespoň dva další jsou Jasani. Čtvrtý však Jasan být nemůže, měl by stejné přesvědčení jako první, který je vlkodlak. Museli by tedy být druhý a třetí Jasani, ale to není možné, odporují si v počtu vlkodlaků – druhý tvrdí, že jsou tu aspoň tři, třetí tvrdí, že aspoň dva nejsou. První tedy musí být Mám a nebýt vlkodlak.
Předpokládejme, že třetí je Jasan. Pak druhý musí být Mám (oba Jasani být nemohou, jak už bylo ukázáno) a není tedy pravda, že nějaký z vlkodlaků je rovněž Mámem, všichni musí být Jasani. Ale to je spor s tím, co říká třetí, že jsou všichni vlkodlaci Mámové.
Třetí tedy musí být Mám a musí být vlkodlak, jinak by jeho první výrok byl pravdivý (o prvním z mužů už víme, že vlkodlak není).
Kdyby byl druhý z mužů Mám, byl by tu vlkodlak se stejným přesvědčením (třetí muž), jeho výrok by byl proto pravdivý, což nelze. Druhý je tedy Jasan.
Je tedy pravda, že jsou tu tři vlkodlaci a žádný z nich není hlavní. Čtvrtý z mužů vlkodlak není, takže nikdo z nich není hlavním vlkodlakem.
I.8
To, co pronesl vlkodlak vpravo, je zřejmě pravda, vetřelci opravdu vstoupili a chtěli jejich společenství ohrozit. Je to tedy Jasan. Vlkodlak uprostřed tvrdí, že jen jeden z nich je Jasan, kdyby to byl Jasan, už bychom tu měli Jasany dva a jeho výrok by byl nepravdivý. Je to tedy Mám a Jasanů musí být více než jeden, vlkodlak vlevo je tedy Jasan. Říká pravdu, že hlavní vlkodlak je Mám a jediný Mám z těch tří je vlkodlak uprostřed, on je tedy tím hlavním.
II.1
Životně důležité v tomto případě je ověřit, že nejsou oba upíři. Kdyby to však tak bylo, druhé tvrzení muže v klobouku by bylo pravdivé, protože druhá část disjunkce („oba jsme upíři“) je pravdivá. Nemohou být tedy upíři oba. Nejsou ale ani oba lidé, člověk nemůže o druhém člověku říct „je to upír a já se ho chystám zabít“ (mluvíme o městě, kde žijí samí Jasani). Jeden z nich je tedy člověk a druhý upír. Pokud by muž v klobouku byl upír, jeho druhá věta by musela být nepravdivá. Jde o disjunkci, takže obě části musejí být nepravdivé, a tedy dědeček muže v kabátu by byl naživu. Pak by ale nemohl pečovat o jeho hrob, jak tvrdí. Tedy muž v klobouku je upír a muž v kabátu člověk.
II.2
Nápis na náhrobku psal evidentně upír, člověk by nemohl napsat „Wilhelm i já jsme upíři“. A protože to napsal upír, je jasné, že Wilhelm upírem není. Také první věta na náhrobku je nepravdivá, obě části disjunkce musejí být nepravdivé. Pohřbený člověk se tedy jmenoval Wilhelm a nebyl to upír, nápis měl asi jen lovce upírů zdržet.
II.3
První muž se sám odhalil, je to jistě upír, tohle by člověk neřekl. Je tedy jasné, že upírů je tu jiný počet než tři. Z toho, co řekla druhá žena, můžeme zjistit jedinou věc, a sice, že všichni určitě upíři nejsou – pokud je člověk, je to zřejmé, a pokud je upír, tak obě části disjunkce musejí být nepravdivé. Upíři jsou tedy maximálně dva.
Předpokládejme nyní, že první žena je upírka. Pak druhý muž a druhá žena musejí být lidé (upíři jsou nejvýše dva). Jenomže potom je pravda to, co řekla první žena – mužů neupírů a žen upírek je stejný počet. To je spor.
První z žen tedy musí být člověk. Druhý muž má pravdu, když říká, že tu není víc než jedna upírka, takže je to také člověk. Je tu tedy právě jeden muž neupír a podle tvrzení první ženy (která je člověk), upírka je rovněž právě jedna.
Upíry jsou tedy první muž a druhá žena.
II.4
Víme, že cizinci, kteří přijeli do města, jsou muži, dáma je tedy měšťanka nebo upírka. Pokud by byla člověk, pak by obě její vyjádření musela být pravdivá – mezi nimi by byl právě jeden měšťan, právě jeden člověk a upírů by bylo méně než lidí. To nejde, protože jsou čtyři. Dáma je tedy jistě upírka a její tvrzení jsou obě nepravdivá. Upírů proto musí být stejně nebo více než lidí.
Muž s plnovousem určitě nemůže být člověk z města (první část konjunkce, kterou pronesl, by byla nepravdivá, takže by lhal). Je to tedy upír nebo cizinec.
Předpokládejme nyní, že mladík je člověk z města. Potom mluvil pravdu, takže aspoň jeden z ostatních je cizinec. Zbylí dva musejí být upíři (aby upírů nebylo méně než lidí), jenže potom je druhé tvrzení dámy v červeném pravdivé, je tu právě jeden měšťan a právě jeden cizinec. To je spor (víme, že dáma je upírka). Mladík tedy rovněž musí být upír nebo cizinec.
Předpokládejme, že je mladík cizinec (to, co řekl, je tedy pravda, protože tu opravdu je alespoň jeden cizinec). Aby upírů nebylo méně než lidí, musí aspoň jeden ze zbývajících mužů být upír. Oba být upíry nemohou, protože pak by tvrzení starého muže bylo pravdivé (žádný cizinec nelhal). Jeden z nich je tedy upír a ten druhý musí být cizinec (člověk z města to být nemůže, to bychom tu zase měli právě jednoho měšťana a právě jednoho cizince). Pak je ovšem tvrzení muže s plnovousem pravdivé (on skutečně není měšťan a cizinci jsou tu alespoň dva) a tvrzení starého muže je také pravdivé (žádný cizinec opět nelhal). Takže ani jeden z nich nemůže být upír a to je spor.
Je tedy nutné, aby mladík byl upír. To, co řekl, je lež, takže ani jeden z nich není cizinec. O muži s plnovousem už víme, že není měšťan, takže i on musí být upír. No a protože tu opravdu nezazněla žádná lež, kterou by řekl cizinec (žádný tu není), starý muž mluvil pravdu. Je to tedy člověk a ostatní jsou upíři.
II.5
Opět je třeba vzít v úvahu, že cizinci jsou jedině muži, obě ženy jsou tedy měšťany nebo upírky. Pokud by blondýna byla upírka, obě části disjunkce, kterou pronesla, by musely být nepravdivé, takže muž by nebyl upír. Není tedy možné, aby oba byli upíři, takže první výrok brunety je pravdivý (někdo z nich jistě upír není). Bruneta je tedy člověk a i její druhý výrok je pravdivý, takže blondýna je upírka. Muž tedy není upír, ale protože o brunetě lživě tvrdí, že je upírka, musí to být cizinec.
II.6
Dobrá, vezmeme si to popořadě. Muž vlevo říká: Jsem upír. Člověk z města by to říct nemohl, to by lhal, ale upír také ne, to by mluvil pravdu. Je to tedy cizinec. Muž uprostřed říká: Nejsem člověk z města. Ani to nemůže říct člověk z města (lhal by) ani upír (mluvil by pravdu). Je to tedy rovněž cizinec. Muž vpravo nemůže být člověk z města (lhal by, dokonce v obou částech konjunkce). Ale nemůže to být ani upír, protože pak by obě části konjunkce byly pravdivé a říkal by pravdu. Takže i on je cizinec.
Jenomže to není možné, cizinci tu přece zbyli jen dva! V čem je tedy problém?
II.7
Je třeba uvědomit si, co bylo o Latungovi řečeno. Když přijel do města, bylo ověřeno, že mluví pravdu, vstup měli povoleni jen Jasani. V té době ale ještě obyvatelé nevěděli o upírech, takže je nenapadlo zkoumat tuto stránku Latungovy povahy. Pokud byl Latunga upír, musel být upírem-Mámem, aby se mohl vydávat za Jasana-člověka (upíři-Mámové totiž mluví pravdu).
Budeme tedy předpokládat, že jeden z těch tří mužů je upír, který mluví pravdu – jinak nelze vysvětlit spor, k němuž jsme předtím dospěli. Kdyby to byl muž uprostřed, pak i jeho druhá věta by byla pravdivá, což nelze – dívka (Jasanka) jasně řekla, že jeden z nich je její pán. Muž uprostřed je tedy cizinec.
Takže když muž vlevo tvrdí, že nikdo z nich není cizinec, lže. Ani on nemůže být upír-Mám, i on je tedy cizinec. Muž vpravo už nemůže být cizinec (jsou jen dva), je to tedy upír a jeho první výrok je pravdivý (opravdu tu jeden upír je a nikdo z nich není člověk z města). Je to tedy upír-Mám a i jeho druhý výrok je pravdivý. On je Latunga a je pánem oné dívky.
III.1
Nelze určit, zda B je vinen nebo ne, ale můžeme dokázat, že A je jistě vinen. Kdyby totiž byl A nevinen, tak z prvního tvrzení by vyplývalo, že B je vinen, a ze druhého v tom případě plyne, že A je vinen, a to je spor. A je tedy vinen.
III.2
Pokud by byl vinen šéf bezpečnosti, museli by s ním být i ředitel a pokladník (musel by mít dva společníky a nikdo jiný se k trezoru nedostal). Ředitel by se ovšem s pokladníkem nespolčil, šéf bezpečnosti je tedy nevinný. Pokud by byl vinen pokladník, musel by s ním být ještě někdo (sám by trezor neotevřel), ředitel by s ním však do spolku nešel a o šéfovi bezpečnosti už víme, že je nevinný. Takže pokladník rovněž není vinen. Vinen je tedy pouze ředitel.
III.3
Protože jedním z pachatelů byla žena a pachatele lze hledat jen mezi těmi čtyřmi, Cellie nebo Diana je jistě vinna. Předpokládejme, že Diana je vinna. Pak je jistě vinen i Benoit (pracují vždy spolu). Kdyby byli vinni jen oni dva, měli bychom dvoučlenný tým, ve kterém chybí Alain, a to nejde. Někdo by tedy musel být s nimi. Alain ne (nikdy by nespolupracoval s Benoitem), no a Cellie také ne, protože tak by se účastnila skupiny, kde jsou dvě ženy a jeden muž. Diana je tedy nevinná a vinná musí být Cellie.
Cellie ovšem sama vloupání spáchat nemohla (tvořila by jednočlenný tým, v němž je víc žen než mužů), musel s ní být ještě nějaký muž. Benoit ne, ten pracuje vždy společně s Dianou a o té už víme, že je nevinná. Musel to být Alain. Alain a Cellie jsou tedy vinni a Benoit s Dianou jsou nevinní.
III.4
Pokud by k vraždě došlo před půlnocí, pachatelé by museli být aspoň dva. A má ovšem na tu dobu alibi, takže by to museli být B a C, jenže B nemohl vraždit bez A. Takže k vraždě došlo až po půlnoci. Od 5:00 do 6:00 (později už k vraždě dojít nemohlo) má A opět alibi, B by bez něj nevraždil a C se po půlnoci sám bojí, takže k vraždě muselo dojít před pátou. Mezi půlnocí a pátou mohl být vrah jen jeden, C to být nemohl (sám by se bál) a B také ne (nemohl vraždit bez A). Vrahem je tedy pouze A.
III.5
Výrok A byl lživý. Jedná se o implikaci, takže její první část musí být pravdivá (někdo z nich je jistě vinen) a druhá část nepravdivá (není vinen právě jeden z nich). Z toho plyne, že vinni jsou alespoň dva. Z výroku B vyplývá, že on i C jsou oba vinni nebo oba nevinni. Oba nevinni být nemohou (víme že alespoň dva z nich jsou vinni), takže jsou oba vinni. Pokud by byl vinen i A, tak výrok C by byl nepravdivý, ale detektor oznámil, že je to pravda. Takže vinni jsou pouze B a C.
III.6
Pokud by první výrok A byl pravdivý a nikdo z nich nebyl vinen, druhý výrok A by musel být nepravdivý, tedy udělal by to B a C nikoli. To je spor. První výrok je tedy nepravdivý a někdo z těch tří je jistě vinen. Druhý výrok A je pravdivý – pokud je vinen B, tak C rovněž.
Předpokládejme, že B je vinen. C tedy musí být také vinen. Druhý výrok B je nepravdivý, první tedy musí být pravdivý a vinni jsou všichni tři. Jenomže v takovém případě jsou oba výroky C pravdivé (vždycky jsou obě části implikace pravda).
Takže B musí být nevinen. Potom jeho druhý výrok je pravdivý, první tedy musí být nepravdivý a A i C nejsou vinni oba. Jeden z nich ale vinen být musí (víme, že někdo z těch tří to je). Dále víme, že druhý výrok C je pravdivý (první část implikace je nepravdivá), první tedy musí být nepravdivý. Udělal to tedy C (sám) a každý z těch mužů v prvním výroku lhal a ve druhém mluvil pravdu.
III.7
A v prvním tvrzení říká, že B je vinen a A nevinen, ve druhém říká, že B je vinen a C rovněž. Alespoň jedno z toho je pravda, takže B musí být vinen.
Předpokládejme, že A je nevinen. Pak jeho první výtok je pravdivý a první výrok B je nepravdivý. Jenomže pak by i druhý výrok B byl nepravdivý, a to nejde. A je tedy rovněž vinen, jeho první výrok je nepravdivý, druhý tedy musí být pravdivý a C je také vinen.
Z prvních čtyř výroků jsou třetí a čtvrtý pravdivé, D tedy lže, když tvrdí, že všechny čtyři jsou nepravdivé. Jeho druhý výrok proto musí být pravdivý, nikdo další se tedy na loupeži nepodílel a vinni jsou jenom A, B a C.
III.8
Nejprve vyloučíme vinu lady Yardové. Pokud by byla vrahem ona, musela by použít sošku, protože v případě, že vražedným nástrojem je pohrabáč, lady nezná vraha (nemohla by to tedy být ona). Když by ovšem vraždila soškou, tak zahradník neví, kdo je vrah, a pokud to neví on, neví to ani hospodyně. Ani právník o její vině neví (jediná situace, kdy zná vraha, je případ, kdy je vrahem sám) – a tím je porušen fakt, že někdo z nevinných zná vraha.
Nyní vyloučíme vinu právníka. On by musel vraždit pohrabáčem, protože na sošce nejsou jeho otisky. V takovém případě lady vraha nezná. Jenomže víme, že pokud by byl vrahem právník, lady by jej musela znát. Takže ani on nevraždil.
Nyní se podívejme na hospodyni. Pokud by k vraždě použila sošku, zahradník by o její vině nevěděl a tím pádem by to nevěděla ani ona sama, což nejde (víme, že vrah byl příčetný a své viny si byl vědom). Takže by musela použít pohrabáč, jenže v tom případě by o její vině musel vědět právník, a ten zná vraha jen tehdy, když je jím sám.
Vrahem je tedy zahradník (překvapuje vás to snad?), použil pohrabáč, lady ani právník o tom nevěděli, hospodyně ano.
III.9
Z toho, co prohlásil bratr A, vyplývá, že jeden z bratrů A a B je jistě falešný. Kdyby totiž byli oba praví, bratr A by lhal, což je spor (praví mniši mluví pravdu). Nyní se zamysleme nad tím, co znamená otázka, kterou dostal B. Zjišťuje se v ní vlastně to, zda A i C jsou oba praví nebo oba falešní. Pokud by tedy B byl pravý mnich, byla by to pravda, a protože A potom musí být falešný (víme, že jeden z A a B falešný jistě je), C je taky falešný. Dokázali jsme tedy, že pokud B je pravý, A i C jsou falešní.
C tvrdí, že jeden z mnichů C a A je pravý a druhý falešný (popírá tvrzení B, že oba jsou praví nebo oba falešní). Pokud je tedy C pravý, tak je to pravda a A musí být falešný. Tím jsme dokázali, že pokud je B falešný, tak jeden z mnichů A a C musí být rovněž falešný.
Sečteno podtrženo alespoň dva z těchto tří jsou falešní, a tím je jasné, že oba dva hledaní falešní mniši jsou mezi bratry A, B a C. Zbývající dva jsou tedy praví a musí proto mluvit pravdu. Z jejich odpovědí plyne, že A je falešný a B pravý. Zločinci se tedy ukrývají pod identitami mnichů A a C.
III.10
Je zřejmé, že B udělal chybu, když zavrtěl hlavou, pravý mnich by na takovou otázku musel přikývnout. Skutečně kdyby B byl pravý a nebyl Bulhar, tak by na otázku „Jste pravý mnich?“ popravdě řekl, že ano, tedy by přikývl a proto popravdě řekne, že by přikývl, tedy přikývne. Kdyby byl pravý a Bulhar, tak na otázku „Jste pravý mnich?“ popravdě řekne, že ano, tedy zavrtí hlavou. Proto by popravdě přiznal, že by nepřikývl, odpoví tedy ne, takže přikývne. B je tedy jistě falešný.
Nyní prokážeme, že aspoň jeden z mnichů C a D je falešný. Předpokládejme, že jsou oba praví. Pak pokud C není Bulhar, správná odpověď na otázku, která mu byla položena, zní „ne“, měl by tedy zavrtět hlavou. Pokud je Bulhar, tak správná odpověď na otázku zní „ano“, měl by tedy rovněž zavrtět hlavou. Je tedy jasné, že jeden z C a D je falešný.
Víme už, že B je falešný a falešní tu mohou být nanejvýš dva, takže A musí být pravý. Pokud by A nebyl Bulhar, tak svým přikývnutím tvrdí, že všichni praví jsou Bulhaři, a to by lhal (on sám je pravý a Bulhar není). Takže A musí být Bulhar, přikývnutím tedy říká ne, takže ten druhý pravý mnich, který tu zbývá, jistě není Bulhar.
Předpokládejme, že jím je D. Potom C je falešný a pravdivá odpověď na otázku položenou D by bylo „ne“. D ovšem přikývl, což není možné, protože víme, že není Bulhar.
Těmi falešnými mnichy jsou tedy B a D.
IV.1
Jedna z možností, jak může Alfréd přesvědčit posluchače, že je upírem – samozřejmě za předpokladu, že jeho převlek nebude prohlédnut a bude považován za Jasana nebo Máma – je říct: „Jsem Mám.“ Pokud by byl Jasan, je jasné, že lže, takže musí být upír, a pokud by byl Mám, tak mluví pravdu a tedy rovněž musí být upír.
Pokud by je pak chtěl přesvědčit o upírství Leopolda, mohl by říct třeba: „Můj přítel je upír, právě když jsem Mám.“ Upíři si již myslí, že on sám je také upírem, nevědí však, zda je Jasan, nebo Mám. Pokud by byl Jasan, pak lže (jako správný upír-Jasan). Druhá část ekvivalence je nepravdivá, první tedy musí být pravdivá. A pokud by byl Mám, pak mluví pravdu. Druhá část ekvivalence je pak pravdivá a první tedy musí být rovněž pravdivá. Upíři tedy dojdou k závěru, že mají před sebou dvojici upírů.
IV.2
Podobně jako v příkladu s růžovým slonem, i toto tvrzení je jistě pravdivé, bez ohledu na to, že mluvčí je upír. Kdyby to byla lež, tak první část implikace by musela být pravdivá a mluvčí by tedy nelhal – což je spor. Je to tedy Mám a mluví pravdu, druhá část implikace musí být pravdivá a Karmul se opravdu ubytoval v západní čtvrti.
IV.3
Nejprve se podívejme na druhou větu mladšího muže. Říká: „Pokud já jsem upír, tak jsem Jasan.“ To by byla lež jedině v případě, že by byl upír a Mám – jenže v tom případě by musel mluvit pravdu. Je to tedy pravda, takže je to člověk-Jasan, nebo upír-Mám. Jenže kdyby byl upír a Mám, tak by, jak již bylo řečeno, jeho výrok byl nepravdivý a upír-Mám nemůže říct nepravdivý výrok. Je to tedy člověk-Jasan, takže vše, co říká, je pravda. Jeho sestra tedy není upírka a starší muž není Jasan.
Nyní si vezměme první větu ženy, kterou říká staršímu muži: „Pokud jsem upír, tak ty jsi Jasan,“ a předpokládejme nejprve, že je to lež. Pak musí být první část implikace pravdivá a druhá nepravdivá, žena je tedy upírka (a Jasanka, protože lže) a starší muž je Mám. Starší muž má pravdu, když jí odporuje, musí být tedy upír-Mám. Jenže pak je druhá část konjunkce, kterou vyslovil, lež (není člověk), a to je spor, upír-Mám nemůže lhát.
Žena tedy jistě říká pravdu a starší muž lže, když o ní tvrdí, že lhala. Víme, že starší muž není Jasan, a protože lže, musí to být člověk-Mám. Lhal i v tom, že žena není sestra mladšího muže, ve skutečnosti jí tedy je, takže není upírka, musí být člověk-Jasan.
IV.4
Chceme-li o někom zjistit, jestli je upír, stačí mu položit otázku: „Jste Mám?“ Člověk odpoví 'ano' a upír odpoví 'ne'. Pokud chceme zjistit, jestli je Jasan, nebo Mám (aniž bychom věděli, zda je upír), stačí se jej zeptat: „Jste upír?“ Jasan odpoví 'ne' a Mám odpoví 'ano'.
Pokud chceme jedinou otázkou zjistit, jestli je člověk, a pokud ano, jestli je Jasan, můžeme zkusit například otázku: „Je pravda, že pokud jste upír, tak platí, že odpovíte ano, právě když jste Jasan?“
Označme X výrok „odpovíte ano, právě když jste Jasan“. Kdyby byl tázaný člověk, tak by věta „Je pravda, že pokud jste upír, tak platí X?“ byla pravdivá bez ohledu na X, protože první část implikace je nepravdivá. Člověk-Jasan by tedy odpověděl 'ano' a člověk-Mám by odpověděl 'ne'.
Pokud by to byl upír, tak celá věta je pravdivá, právě když X je pravdivý výrok. Pokud by tedy upír-Jasan řekl 'ano', X je pravdivé a celá věta je pravdivá, což je spor (upír-Jasan nemůže říct pravdu). Pokud by odpověděl 'ne', tak X je nepravdivý, celá věta je tedy nepravdivá a to je zase spor (upír-Jasan by přece nepopíral nepravdivý výrok). Podobně pokud by upír-Mám řekl 'ano', X je nepravdivý a celá věta je tedy nepravdivá a on lže, což je spor. Pokud by upír-Mám řekl 'ne', X je pravdivý a tedy i celá věta je pravdivá, takže zase lže (říká 'ne'). Upír tedy nemůže na takovou otázku odpovědět nic, nejspíš by jen krčil rameny, nebo se pokusil o útěk, protože by viděl, že je prozrazen.
IV.5
Větu „Já jsem upír“, kterou řekl muž, může říct jedině Mám. Žena tedy lže, když o muži tvrdí, že je Jasan. Lže tedy i ve druhé větě, když o sobě tvrdí, že není upír. Je tedy upírka-Jasanka. Muž lže, když o ní tvrdí, že je člověk, a protože je Mám, musí být člověk.
IV.6
Nejprve se soustřeďme na druhou rakev. První nápis musí být pravdivý (kdyby byl nepravdivý, tak je druhá část implikace nepravdivá, takže žádný nápis na druhé rakvi nesmí být nepravdivý, což je spor). Třetí nápis také musí být pravdivý (kdyby byl nepravdivý, tak by musely být všechny nápisy pravdivé, opět spor). Podle třetího nápisu je jeden z nápisů nepravdivý, musí to tedy být ten druhý. Na některé z rakví tedy napsal všechny nápisy upír-Mám, všechny jsou proto pravdivé. Druhá to být nemůže (jeden z nápisů je nepravdivý), musí to být první nebo třetí.
Pokud by to byla třetí rakev, tak podle druhého nápisu všechny nápisy na ní psal člověk, což je spor s tím, že všechny psal upír-Mám. Musí to tedy být první rakev.
Víme, že všechny nápisy na první rakvi jsou pravdivé, jedna z rakví je tedy prázdná a nápisy na třetí rakvi psal ten, kdo leží ve druhé rakvi – druhá rakev tedy nemůže být prázdná. Ani první není prázdná (leží tam upír nebo Jasan), takže prázdná je třetí rakev.
Kdyby ve druhé rakvi ležela Amilda, všechny nápisy na třetí rakvi by byly pravdivé (psala je ona a je člověk-Jasan). První nápis by ale byl nepravdivý (třetí rakev je prázdná, takže tam neleží člověk-Mám, a ve druhé rakvi leží Amilda a nikoliv upír-Mám), což je spor.
Amilda tedy musí ležet v první rakvi.
Pro klid duše můžeme dodat, že ve druhé rakvi musí ležet upír. Kdyby to byl totiž člověk, tak první nápis na třetí rakvi by byl nepravdivý a druhý pravdivý, což je spor s tím, že všechny psala táž osoba.